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Vince (vincevega)
Junior Mitglied
Benutzername: vincevega
Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 30. April, 2002 - 15:09: | 
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Hallo Leute,
ich habe ein Verständnisproblem bei den Gradientenvektorfeldern, welches durch folgende Abbildung definiert ist :
x -> grad f(x) für alle x aus U wobei f : U -> R differenzierbar (U ist mehrdimensionale Teilmenge des R^n)
Meine Frage ist zunächst, warum der Gradient in Richtung des maximalen Wachstums von f zeigen muss. Die Voraussetzung dieser Überlegung war wohl, dass es genau einen normierten Vektoren v aus dem R^n gibt, für den gilt :
grad f(x0) = Mv
(x0 ist eine konkrete Stelle hier)
(M ist das Maximum der Richtungsableitungen für normierte Vektoren)
Desweitern werden in meiner Lektüre die Beispiele
f(x,y) = x^2+y^2 sowie
f(x,y) = x^2-y^2
angeführt. Das konkrete Gradientenvektorfeld soll sich nun an den sogenannten Niveaulinien orientieren, welches man wiederum alle (x,y)-Konstellationen ermittelt, für die f(x,y)=const gilt. Im ersten Fall leuchtet mir ein, dass dies Niveaulinie für f(x,y)=1 genau der Einheitskreis sein muss und für andere Wert als 1 der Kreis lediglich grösser bzw. kleiner wird. Das Gradientenvektorfeld soll nun jeweils orthogonal zur Tangente an diesem Einheitskreis in einem bestimmten Punkt sein, was ich für f(cos 0, sin 0) oder f(cos Pi/2, sin Pi/2) nach Errechnung des konkreten Gradienten (2,0) bzw. (0,2) nachvollziehen kann. Aber wie kann ich formell beweisen, dass das Gradientenvektorfeld orthogonal ist? Kann man das über das Skalarprodukt (was an der Stelle 0 sein muss) formal darstellen?
Das Beispiel f(x,y)=x^2-y^2 macht mir noch mehr Sorgen. Gilt die Feststellung des zur Tangente der Niveaulinie orthogonalen Gradientenvektorfelds auch hier? Und wie "veranschauliche" ich mir, wie die Niveaulinien aussehen? In der Literatur finde ich hinweise, dass die Funktion selbst wie ein Sattel aussieht. Aber wie ermittele ich hier die Niveaulinien und damit dann das Gradientenvektorfeld.
Es wäre nett, wenn mir jemand bei meinem Problem helfen könnte.
Gruß, Vince |
Fern
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. Mai, 2002 - 11:12: |
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Hallo Vince,
in der folgenden Word-Datei findest du eine kleine Erklärung zum Gradienten.
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Fern
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. Mai, 2002 - 12:33: |
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Hallo Vince,
Hier ist noch eine grafische Darstellung der Gradientenfelder mit Niveaulinien für die beiden Funktionen.
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Vince (vincevega)
Junior Mitglied
Benutzername: vincevega
Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 02. Mai, 2002 - 17:43: |
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Hallo Fern,
vielen Dank für Deine ausführlichen Instruktionen, die mir wieder sehr geholfen haben. Sowohl die Veranschaulichung mit Hilfe Deiner Skizze als auch über den formellen Beweis über die Skalarproduktdefinition habe ich die prinzipiellen Zusammenhänge gut verstanden. Sehr schön fand ich Deinen Hinweis, dass mir aus der Schulmathematik der Begriff "konzentrische Kreise" bekannt sein sollte. Ich werde dies bei Gelegenheit mal an meine ehemaligen Lehrer weitergeben ;-)
Herzliche Grüße,
Vince |
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