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Beitrag |
    
Kiara
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 29. April, 2002 - 20:28: | 
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Hallo
Ich sitze hier an einer Aufgabe und komme trotz Tipp nicht weiter.
Kann mir jemand weiterhelfen?
Man zeige, dass Z + i*Z = { x + y*i aus C; x, y aus Z} einen Unterring des Körpers der komplexen Zahlen bildet und ein Hauptidealring ist.
(Tipp: Man zeige, dass Z + Z*i ein euklidischer Ring bezüglich der Gardfunktion d(x + y*i) = x^2 + y^2 ist.)
Z := Menge der ganzen Zahlen
C := Menge der komplexen Zahlen
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orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 180
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 30. April, 2002 - 10:39: |
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Hallo Kiara :
Man muss zunächst zeigen, dass die Funktion d :
Z[i] --> |N+ folgende Eigenschaft hat :
Zu a , b in Z[i] , b kein Teiler von a und
d(a) >= d(b) existieren q,r in Z[i] sodass
a = qb+r und d(r) < d(a).
Daraus folgt dann die Durchführbarkeit der
"Division mit Rest" (analog zu Z) und damit
die Aussage, dass jedes Ideal ein Hauptideal ist.
Seien also a,b wie erwähnt gegeben. Es sei weiter
a/b = x + yi mit x,y in Q.
Nun lassen sich x,y zerlegen in
x = u + s , y = v + t mit u,v in Z und
mit - 1/2 =< s =< 1/2 , und -1/2 =< t =< 1/2,
sodass also s^2 + t^2 =< 1/2 < 1 ist.
Jetzt setzen wir q := u + vi , r := a - q*b,
c:= s + ti. Dann sieht man leicht, dass
a = q*b + r , d(r) = d(b)*d(c) < d((b).
Bemerkung : Die Bezeichnung "Gardfunktion" ist mir
neu, üblicherweise spricht man von Normfunktion.
mfg
Orion
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Kiara
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. Mai, 2002 - 20:29: |
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Hallo Orion
Danke für deine schnelle Lösung.
Den Ansatz habe ich jetzt auch verstanden, doch wieso sind s und t nachher zwischen -1/2 und 1/2 ??
Gruß Kiara |
orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 184
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 02. Mai, 2002 - 07:31: |
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x bzw. y liegen je in einem (eindeutig bestimmten)
Intervall der Art [m-1/2 , m+1/2[ , m in Z.
Warum übrigens nicht mal ein Zahlenbeispiel rechnen ?
Orion |
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