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Taylor und arctan

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Madita
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Sonntag, den 28. April, 2002 - 08:46:   Beitrag drucken

Hallo
Kann mir jemand bei folgenden Aufgaben weiterhelfen??

a)
Es sei p_n(x) = Summe[k=0...n](-1)^k / (2*k+1) * x^(2*k+1) das Taylor-Polynom vom Grad 2n +1 der Funktion arctan und x > 0.
Für welche n aus aus N(mit Null) gilt
p_n(x) > arctan x und für welche arctan x > p_n(x) ??

b)
Bestimme den Konvergenzradius der arctan- Reihe aus arctan x = Summe [n=0...oo] (-1)^n/ (2*n+1) * x^(2*n+1) und leite durch Einsetzen der Werte x=1 und x=3^(-1/3) zwei Reihen zur Berechnung von Pi her.

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orion (orion)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion

Nummer des Beitrags: 178
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Montag, den 29. April, 2002 - 07:26:   Beitrag drucken

Hallo :

Mit Hilfe der bekannten Summenformel für
die geometrische Reihe erhält man

1/(1+t^2) = sum[k=0...n](-1)^k*t^2k

+(-1)^(n+1)*t^(2n+2)/(1+t^2).

Integriere dies von t=0 bis t=x, dann kommt

arctan(x) = p_n(x) + r_n(x)

mit

r_n(x) = (-1)^(n+1)*int[0...x] t^(2n+2)/(1+ t^2)dt

Daraus ergibt sich das Vorzeichen von r_n(x).
Der Integrand des Restgliedes lässt sich durch t^(2n+2) nach oben abschätzen und das
verbleibende Integral elementar ausrechnen.
Man erkennt dann, dass lim r_n(x) = 0 für
| x | =< 1.

mfg

Orion

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