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Beitrag |
    
maya
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 27. April, 2002 - 18:12: | 
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Hallo
Ich habe ein Problem zu zeigen, das jede logarithmisch konvexe Funktion auf einem Intervall I, f: I-> ]0,oo[, auch konvex ist.
Weiterhin soll ich daraus folgern, dass die Gamma- Funktion stetig ist. Wie mache ich das?
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Dorian
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. April, 2002 - 06:47: |
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Hallo maya,
die Frage steht auch hier:
http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/messages/4244/74367.html?1019963973 |
orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 174
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. April, 2002 - 07:59: |
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Hallo Maya :
Hier ein Hinweis.
Zunächst zu den Begriffen .
I sei ein offenes Intervall.
1. f : I -> |R heisst konvex, wenn für alle
x,y in I und alle a,b >= 0 mit a+b=1 gilt:
f(ax+by) =< a f(x) + b f(y).
2. f heisst logarithmisch konvex, wenn
(1) f(x) > 0 in
und
(2) log(f(x)) konvex.
Aus 2. ist nun 1. zu folgern.
Seien also a,b >= 0 und a+b = 1.
Dann gilt nach Vor.:
log(f(ax+by)) =< a*log(f(x) + b*log((f(y))
<==>
log{(f(ax+by)/(f(x)^a*f(y)^b) =< 0
<==> f(ax+by) =< (f(x))^â *(f(y))^b
Eine bekannte Ungleichung besagt :
Für alle u,v >=0 und a,b>= 0 mit a+b=1
ist
u^â*v^b =< au + bv.
Daraus folgt nun die Behauptung.
mfg
Orion
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orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 175
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. April, 2002 - 08:28: |
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Nachtrag .
Vorschlag zum Beweis der letzteren Ungleichung:
Für festes u setze v = tu. Die Differenz
linke Seite - rechte Seite führt auf die
Hilfsfunktion
h(t) := u*(t^b - a - tb).
Durch Betrachtung der Ableitung h'(t) stellst Du leicht fest, dass h bei t=1 ein Maximum
hat, d.h.: h(t) =< h(1) = 0 mit "=" genau für
t=1.
Orion
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