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Beitrag |
    
Maya
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 27. April, 2002 - 14:02: | 
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Hallo
Ich habe ein Problem zu zeigen, das jede logarithmisch konvexe Funktion auf einem Intervall I, f: I-> ]0,oo[, auch konvex ist.
Weiterhin soll ich daraus folgern, dass die Gamma- Funktion stetig ist. Wie mache ich das?
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SpockGeiger (spockgeiger)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: spockgeiger
Nummer des Beitrags: 461
Registriert: 05-2000
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. April, 2002 - 04:16: |
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Hi Maya
Die Aussage ist richtig, weil ln streng monoton steigend und konkav ist:
ln(f(ta+(1-t)b)<=tln(f(a))+(1-t)a(f(b))<=ln(tf(a)+(1-t)f(b))
Da ln streng monoton steigend ist, folgt
f(ta+(1-t)b)<=tf(a)+(1-t)f(b)
Wozu dass im zweiten Teil gut sein soll, weiß ich nicht. Dass die Gamma-Funktion konvex ist, folgt aus:
Für alle t>0 ist f(x)=tx konvex, also folgt tla+(1-l)b<=lta+(1-l)tb
Multipliziere die Gleichung mit t-1e-t, integriere von 0 bis unendlich, und es folgt, dass Gamma konvex ist. Konvexe Funktionen sind stetig.
viele Grüße
SpockGeiger |
SpockGeiger (spockgeiger)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: spockgeiger
Nummer des Beitrags: 462
Registriert: 05-2000
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. April, 2002 - 04:19: |
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Sorry, kleine Korrektur
konvexe Funktionen auf offenen Intervallen sind stetig. Die Gammafunktion ist auf einem offenen Intervall definiert. |
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