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Tobias Heer (Tobix)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 16. November, 2000 - 19:18: | 
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Ich habe ein "kleines" Problem. Zu folgender Aufgabe fehlt mir leider jeglicgr Ansatz... Würd mich freuen wenn mir jemand nen Schubs geben könnte:
Sei G=(G,*) eine (multiplikative) zyklische Gruppe d.h. es gibt x element G, so dass G = <x> :={x(hoch)n | n element Z} von x erzeugt wird.
(die Aufgabe a war soweit kein großes Problem, ich schreib sie der Vollständigkeit halber trotzdem mal auf)
a)(Z,+) ist eine (additive) zyklische Gruppe und n --> x(hoch)n ein surjektiver Homomorphismus f=f(x):Z --> G . Man beschreibe Ker(f).
(nun der Knackpunkt ich hab keine Ahnung wie ich bei den Gegebenen Dingen irgendwas beweisen kann)
b) Zwei endliche zyklische Gruppen gleicher Ordnung (Kardinalität) sind isomorph.
Das wars.
Ich hoffe jemand fällt was schlaues dazu ein....
Danke im Voraus... Tobi |
Hanno Land (Hanno)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 17. November, 2000 - 13:52: |
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Hi, also mir fällt dazu ein, dass:
"Jede endliche zyklische Gruppe G ist isomorph zu (Z mod |G|Z)!"
Daraus folgt dann gleich die Behauptung b).
Falls Dir das nix sagt, bzw Du zu dem Satz noch gerne den Beweis hättest, musst Du's kurz sagen ich liefer ihn dann nach. |
Katja Heinrich (Kat)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 17. November, 2000 - 19:33: |
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der beweis wäre wirklich nicht schlecht. |
Hanno Land (Hanno)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. November, 2000 - 14:14: |
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Sorry, dass ich erst jetzt antworte, aber die Email-Benachrichtigung funktioniert nicht, und so habe ich erst sehr spät erfahren, dass Interesse am Beweis herrscht .. aber jetzt ...
SATZ:
Jede endliche zyklische Gruppe G mit der Ordnung |G| = n ist isomorph zu (Z mod nZ).
BEWEIS:
Zuerst mal näheres zu (Z mod nZ):
(Z mod nZ)={â | a aus Z} [mit â ist die Äquivalenzklasse von a gemeint, bezüglich der Äquivalenzrelation a~b :«(a-b ist durch n teilbar)] ist eine additive Gruppe.
Beispiel: (Z mod 7Z)={^0,^1,^2,^3,^4,^5,^6} also enthält die Menge der Äquivalenzklassen von 0 bis 6.
Sei a Element aus G, dann sind die Elemente ak für 0£k<n paarweise verschieden in G.
Die Abbildung G®(Z mod nZ), ak®^k ein Isomorphismus.
sujektiv, weil: jedem a aus G eine Äquivalenzklasse zugeordnet wird.
injektiv, weil: ak,al aus G, k,l,u,v aus Z, (k-u) ist durch n teilbar und (l-v) durch n teilbar, bei k,l verschieden und zwischen 0 und n u,v verschieden sein müssen.
So, ich hoffe es ist halbwegs verständlich geworden .... |
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