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Juli
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. April, 2002 - 15:06: | 
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Hi
Ich stecke im Wirrwarr der folgenden Aufgabe fest. Hat einer ne Idee zur Lösung?
Es seien s aus R, s ungleich Null und f: R -> R eine zweimal differenzierbare Funktion, die der Differenzialgleichung f´´ = s*f genüge.
Zeigen Sie mit Hilfe der Taylor-Formel (Restglied von Lagrange), dass f in eine auf ganz R konvergente Potenzreihe entwickelbar ist, und folgern Sie :
Ist s < 0, w = sqrt(-s), so ist
f(x) = f(0) * cos (w*x ) + f ´(0)/w * sin (w*x) , (x aus R)
Und ist s > 0, w= sqrt s , so ist
f(x) = f(0) cosh (w*x) + f ´(0) / w * sinh (w*x) , (x aus R)
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orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 170
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. April, 2002 - 19:16: |
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Juli :
Hier ein paar Hinweise.
Zunächst zeigt man, dass f sogar beliebig
oft differenzierbar ist . Z.B. ist
(1/h)*(f''(x+h)-f''(x)) = s*(1/h)*(f(x+h)-f(x))
und die rechte Seite strebt bei h->0
gegen s*f'(x), d.h. f'''(x) existiert. So kann man
fortfahren und die Existenz von f^(n)(x) für
jedes n beweisen.
Jetzt kann man die Taylorformel für beliebige
Ordnung hinschreiben. Man zeigt induktiv,
dass
f^(2n)(x) = s^n*f(x) , f^(2n+1)(x) = s^n*f'(x).
So kann man alle Taylorkoeffizienten durch f(0) und f'(0) ausdrücken und zeigen, dass
das Restglied für n->oo gegen Null strebt.
Wenn s < o ist so erkennt man bald einmal
die Reihen für cos(wx) und sin(wx).
Ich denke, damit kommst Du weiter.
mfg
Orion |
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