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Cindy (cindyy)
Neues Mitglied
Benutzername: cindyy
Nummer des Beitrags: 13
Registriert: 08-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. April, 2002 - 20:31: | 
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Es ist zu zeigen dass z = n³ + 11n für jede natürliche Zahl durch 6 teilbar ist.
Danke Cindy |
Martin (martin243)
Senior Mitglied
Benutzername: martin243
Nummer des Beitrags: 590
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. April, 2002 - 21:22: |
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Hi Cindy!
Um die Teilbarkeit durch 6 zu zeigen, müssen wir zeigen, dass z durch 2 und durch 3 teilbar ist:
durch 2:
z = n³ + 11n
= n(n² + 11)
Ist n gerade, dann ist das Produkt natürlich auch gerade (weil der linke Faktor gerade ist).
Ist n dagegen ungerade, dann ist n² auch ungerade und somit n²+11 gerade (also der rechte Faktor). Das Produkt wäre also wieder gerade.
Also ist z immer gerade für alle n € N
durch 3:
Wir schreiben das Ganze noch etwas anders hin:
z = n³ + 11n
= n(n² + 11)
= n(n² - 1 + 12)
= n[(n+1)(n-1) + 12]
= n(n+1)(n-1) + 12n
= (n-1) * n * (n+1) + 12n
Wir haben hier einmal ein Produkt dreier aufeinanderfolgender Zahlen, das immer durch 3 teilbar ist. Es ist nämlich jede dritte natürliche Zahl durch 3 teilbar (ist klar, oder?). Dazu wird ein Vielfaches von 12 addiert, das insbesondere ein Vielfaches von 3 ist.
Also ist z auch durch 3 teilbar.
2|n und 3|n Þ 2*3|n |
Martin (martin243)
Senior Mitglied
Benutzername: martin243
Nummer des Beitrags: 591
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. April, 2002 - 21:47: |
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Nachtrag:
Natürlich sieht man auch an der Zerlegung
z = (n-1)*n*(n+1) + 12n,
dass z gerade ist, weil sowohl das erste Produkt als auch 12n gerade sind (klar, oder?) |
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