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Beitrag |
    
Mandy
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 16. November, 2000 - 13:08: | 
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Auf dem Rand eines Kreises werden Punkte gesetzt. Diese werden miteinander verbunden (Sehnen). Nun soll erklärt werden, in wie viele Teilgebiete in dem Kreis so HÖCHSTENS (3 Sehnen schneiden sich wohl nicht) bei 10 Punkten entstehen. (1 Punkt = 1 Gebiet, 2P=2G, 3P=4G, 4P=8G, 5P=16G, 6P=31!G, 7P=57G, 99 Gebiete bei 8P,...<--wenn ich mich nicht verzählt habe. Wie geht das?
Also wir sind bisher so weit, dass es wohl bei n Punkten 1/24*n^4 -1/12*n^3 +11/24*n^2 +7/12*n +1 Gebiete gibt, die Zahl der Gebiete erhöht sich bei dem n-ten Punkt um (n^2-3*n+8)*n/6.
Warum? Kann das durch Induktion bewiesen werden? Sind so zu sagen am Verzweifeln. |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 16. November, 2000 - 20:51: |
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Kenst du die eulersche Polyederformel? Versucht es mal damit! |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 16. November, 2000 - 21:42: |
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Die Lösung ist
n4/24 - n3/4 + 23n2/24 - 3n/4 + 1. |
Mandy
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 16. November, 2000 - 23:25: |
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Hab Dank, erstmal. Irgendwie kann die Formel doch nicht stimmen. |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 16. November, 2000 - 23:38: |
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Wieso nicht?? Für n = 1, 2, 3, 4, 5, 6 bekomme ich jedenfalls 1, 2, 4, 8, 16, 31 heraus. Oder habe ich mich verrechnet?
P.S. "Kennst" schreibt sich natürlich mit zwei "n". |
Mandy
| | Veröffentlicht am Freitag, den 17. November, 2000 - 01:52: |
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6^4/24 - 6^3/4 + 23*6^2/24 - 3*6/4 + 1 = 31
UUUPS da hatte ich mich verrechnet. Wie bist du denn da drauf gekommen? |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 17. November, 2000 - 13:00: |
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Wie gesagt, mit der eulerschen Polyederformel ist es relativ einfach. Kennst du die? |
Mandy
| | Veröffentlicht am Freitag, den 17. November, 2000 - 13:15: |
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Nein, werd mich aber schlau machen. VIIEEELEN DANK! |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 18. November, 2000 - 11:25: |
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Hi Mandy, die eulersche Polyederformel geht wie folgt:
Zeichne in die Ebene beliebig viele Punkte. Verbinde einige dieser Punkte durch Linien. Die Linien dürfen sich nicht schneiden (bzw. wenn sie sich schneiden, muss für den Schnittpunkt ein neuer Punkt hinzu genommen werden, die schneidenen Linien zählen dann jeweils doppelt).
Das Ganze soll "zusammenhängend" sein, d. h. von jedem Punkt muss man über Linien zu jedem anderen Punkt gelangen können.
Die Ebene wird dadurch in Gebiete zerlegt.
Ist a die Anzahl der Punkte, b die Anzahl der Linien und c die Anzahl der Gebiete, dann gilt
a - b + c = 2 (Eulersche Polyederformel.
Nimm als Beispiel den Kreis mit vier Punkten und verbinde alle Punkte durch Sehnen. Hier ist
a = 5 (die vier Punkte auf dem Kreis und ein Schnittpunkt im Inneren des Kreises)
b = 12 (4 unzerschnittene Sehnen, 2 zerschnittenen Sehnen machen 4 Linien, und die 4 Kreisbögen)
c = 9 (auch das Außengebiet zählt mit)
5 - 12 + 9 = 2.
Wenn du bis hier hin folgen konntest, erzähle ich dir auch noch, wie man mit der eulerschen Polyederformel deine Aufgabe löst. |
Mandy
| | Veröffentlicht am Samstag, den 18. November, 2000 - 17:41: |
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Klasse!
Noch mal vielen Dank. |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 18. November, 2000 - 19:02: |
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Heißt das, dass du jetzt alleine klar gekommen bist? Oder wartest du auf die Lösung der Aufgabe? |
Mandy
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. November, 2000 - 14:36: |
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OK: Wenns auch noch ne Lösung gäbe, dann wäre es super. |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. November, 2000 - 22:08: |
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Na logisch gibt's die Lösung :-)
Bestimme also a und b um daraus c = 1 - a + b zu berechnen. (nicht "2 - a + b", da in deiner Aufgabe das Außengebiet nicht mitzählt.)
Zu a: Es gibt
1. die Punkte auf dem Kreis (n Stück)
2. die Schnittpunkte der Sehnen
Bei einer Auswahl von jeweils vier Punkten auf dem Kreis gibt es sechs Sehnen. Davon schneiden sich genau zwei dieser Sehnen. Also gibt es so viele Sehnenschnittpunkte, wie es Möglichkeiten gibt, vier der n Punkte auf dem Kreis auszuwählen. Das sind
(n über 4) = n (n - 1) (n - 2) (n- 3) / (4 * 3 * 2 * 1) = n (n - 1) (n - 2) (n- 3) / 24.
Also a = n + n (n - 1) (n - 2) (n- 3) / 24.
Zu b: An jedem der n Punkte auf dem Kreis kommen n + 1 Linien an (zwei Kreisbögen und n - 1 Sehnen).
An jedem der (n über 4) Sehnenschnittpunkten kommen 4 Linien an (da sich nicht mehr als zwei Sehnen in einem Punkt schneiden sollen).
Wenn man jetzt
(n + 1) n + 4 (n über 4)
rechnet, ist jede Linie genau zwei Mal gezählt. Also
b = [(n + 1) n + 4 (n über 4)] / 2.
= (n + 1) n / 2 + n (n - 1) (n - 2) (n- 3) / 12
Somit
c = 1 - a + b
= 1 - [n + n (n - 1) (n - 2) (n- 3) / 24] + [(n + 1) n / 2 + n (n - 1) (n - 2) (n- 3) / 12]
= ...
= (Ergebnis siehe oben) |
Mandy
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. November, 2000 - 23:50: |
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Yeeaaah, klasse! |
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