| Autor |
Beitrag |
    
Berta
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. April, 2002 - 21:36: | 
|
Hallo!
Ich habe folgende Identität zu zeigen:
2^(x-1)*Gamma(x)*Gamma(x+1/2)=Wurzel(pi)*Gamma(2x)
Die Gammafunktion ist mir noch nicht sehr vertraut, obwohl ich sie faszinierend finde!
Ich habe einmal in diesem Forum mehrere interessante Beiträge zur Gammafunktion entdeckt, kann sie aber nicht wieder finden.
Ich würde mich freuen, wenn mir jemand behilflich ist!
Gruß
Berta
|
H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. April, 2002 - 09:16: |
|
Hi Berta,
Ich empfehle Dir, die folgenden Ausführungen
aus einer meiner früheren Arbeiten zur Gammafunktion
zu studieren und zusätzlich in einem Lehrbuch
der reellen Analysis oder der Funktionentheorie
das entsprechende Kapitel über die Gammafunktion
zu bearbeiten.
Die Herleitung der von Dir erwähnten Formel findest Du
weiter unten unter der römischen Ziffer I
Die genannten Ausführungen lauten so :
.......Dein Interesse für die Gammafunktion ist erfreulich;
so weit wie möglich möchte ich Dir bei der
Kontaktnahme mit dieser Sparte der Analysis
behilflich sein.
Ein paar Vorbemerkungen sind unerlässlich.
1.
Die Bezeichnungen sollten geändert werden.
Da x vorrangig als Integrationsvariable
gewisser Integrale auftritt, setze ich p statt x.
Werte der Gammafunktion sind mit G(p)
statt mit Gamma(p) bezeichnet
2.
..........
Da es sich bei meinem Betrag sicher nicht um eine
Vorlesung über die Gammafunktion handeln kann,
und das Rad nicht neu erfunden werden soll,
setze ich zwei wichtige Beziehungen als bekannt
voraus
a)
Das so genannte Eulersche Integral erster Gattung ,
die Betafunktion B(p,q), ist das Integral
B(p,q) = int [x^(p-1) * (1-x)^(q-1) * dx ] , (p>0,q>0)
untere Grenze 0 , obere Grenze 1.
Mit Hilfe der Gammafunktion G(p)
( Eulersches Integral zweiter Gattung)
G(p) = int [e ^ (-x) * x^(p-1) * dx ] ,(p>0) ,
untere Grenze 0 ,obere Grenze unendlich,
kann B(p,q) auch so geschrieben werden:
B(p,q) = [G(p) * G(q) ] / [G( p + q ) ] .......................................................................(a)
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
b)
S = int [x^(p-1) / (1+x) * dx ] = G(p)*G(1-p)……………………………………….(b)
0<p<1, untere Grenze des Integrals 0, obere Grenze
unendlich.
c) G( ½ ) = wurzel(Pi)..................................................................................................(c)
I. Herleitung Deiner Formel
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Wir setzen in der Formel a) p = q ein:
B(p,p) = G(p)*G(p) / [G(2p)] = int [ (x – x^2)^(p-1)*dx]
Grenzen 0 bis 1.
Kleine Umformung
B(p,p) = 1/{2^(2p-1)}* int [ {1- (1- 2x)^2}^ (p-1) * dx ]
Nun substituieren wir folgendermassen:
Das Integral wird bezüglich der Grenzen als eine Summe
zweier Integrale dargestellt
Erstes Integral: untere Grenze 0 , obere Grenze ½
Zweites Integral: untere Grenze ½, , obere Grenze 1
Für x zwischen 0 und ½ (erstes Teilintegral)
sei 1-2x = wurzel(u), also –2 dx = du / (2*wurzel(u))
Für x zwischen ½ und 1 (zweites Teilintegral)
sei 1-2x = - wurzel(u), also –2 dx = - du / (2*wurzel(u))
Im ersten Fall ist nämlich 1 – 2x positiv, im zweiten Fall
gilt 1 – 2x < 0 ;daher erhält wurzel(u) entgegengesetzte
Vorzeichen.
Wir erhalten für B(p,p) die folgende Summe: B(p,p) =
1/{2^(2p-1)}* int [ { 1- (1- 2x)^2}^ (p-1) * dx ] +
1/{2^(2p-1)}* int [ { 1- (1- 2x)^2}^ (p-1) * dx ]
Beim ersten Integral: untere Grenze 0, obere ½ ,
beim zweiten Integral: untere Grenze ½ ,obere 1
In der neuen Integrationsvariablen u:
= - 1 / 2^(2p) int [(1-u)^(p-1)/wurzel(u) * du ] +
1 / 2^(2p) int [(1-u)^(p-1)/wurzel(u) * du ]
Achtung :
beim ersten Integral ist die untere Grenze 1,
die obere Grenze 0 ,
beim zweiten Integral ist der Sachverhalt gerade
umgekehrt : untere Grenze 0, obere 1.
Für B(p,p) erhalten wir ein einziges Integral mit
unterer Grenze 0, oberer Grenze 1 ,nämlich:
B(p,p) = 1/2^(2p-1) * int [u^(- ½) (1-u)^(p-1) * du ]
mithin :
B(p,p) = 1/2^(2p-1) * B ( ½ , p) oder
G(p)*G(p) / G(2p) = 1/2^(2p-1) * G( ½ ) G(p) /G(p+ ½ )
G(p) hebt sich weg !
G( ½ ) wird nach c) durch wurzel(Pi) ersetzt.
Deine Formel ist damit hergeleitet !
G(p)*G(p + ½ ) = wurzel(Pi)/ 2^(2p-1) * G(2p).
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
................
Ende Zitat !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath.
|
N.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. April, 2002 - 16:50: |
|
Hier ist der Ganze Beitrag im Archiv zu finden:
http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/messages/9308/51028.html?1017937022
Gruß N. |
Berta
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. April, 2002 - 20:03: |
|
Herzlichen Dank, an megamath für die ausführliche Herleitung und an N. für den Hinweis!
Ich muss das jetzt erst alles durcharbeiten.
Aber auf meinem Übungszettel gibt es noch neun (!) andere Beispiele von dieser Sorte….
Nun hätte ich eine ganz allgemeine Frage:
In der Vorlesung wurde vom Professor bei den verschiedensten Gelegenheiten die Gamma- und Betafuntkion immer wieder „eingestreut“…
Unter anderem kamen wir in Analysis I über die hypergeometrische Reihe,dem aufsteigendem Faktoriellen zur binomischen Reihe und schließlich zur Gammafunktion;
Ein anderes Mal über eine Rekursionsformel für Int(sin^n(x)) zum Wallis’schen Produkt und zur Gammafunktion (da erwähnte er auch die Stirling’sche Formel);
Und jetzt eben im Zuge des Uneigentlichen Integrals, wo wir einige Beziehungen hergeleitet haben.
Abgesehen davon, dass ich die fertigen Formeln in einem Buch finde, interessiert mich eigentlich immer das woher und warum und so weiter (unsere Vorlesung ist überhaupt auf einem sehr hohen Niveau und ich fühle mich oft ganz einfach „ins kalte Wasser gestoßen“, so ganz ohne Vorwarnung!).
Oder anders ausgedrückt:
Wenn mich jemand fragt: Was hat es eigentlich auf sich mit dieser Gamma(Beta)-Funktion? – dann wüsste ich keine Antwort.
Ich tät es aber gerne erklären können – weil dann hab ich es selbst erst verstanden!
Die Gammafunktion und alles was damit zusammenhängt scheint eine Spezialität von megamath zu sein, wie ich nun entdeckt habe;
Ich tät mich freuen, wenn Du meine Verwirrung diesbezüglich ein wenig auflösen könntest!
Nochmals danke für die Antworten
Liebe Grüße
Berta
Für diese paar Zeilen hab ich nun über eine Stunde gebraucht: immer wieder Fehlermeldungen und Absturz !???!
Außerdem bin ich ganz schön herumgeirrt, bis ich meinen Beitrag wieder gefunden habe. Beim Link "letzter Tag" war er jedenfalls nicht zu finden...???
Mache ich etwas falsch oder gibt es da technische Probleme mit der Seite? |
H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. April, 2002 - 09:37: |
|
Hi Berta,
Es folgen noch ein paar Ergänzungen zu meinem
gestrigen Beitrag.
Die besprochene Formel
G(z)*G(z + ½ ) = wurzel(Pi)/ 2^(2z-1) * G(2z)...............(1)
ist unter dem Namen Legendresche Verdopplungsformel
bekannt (Adrien Marie Legendre, 1752-1833).
Sie lässt sich zur so genannten Multiplikationsformel
verallgemeinern:
G(z)*G(z+1/ k)*G(z+2/ k)*.......* G( z +{k-1}/ k) =
= (2*Pi)^{ ½ (k –1)}* k^{ ½ -kz }* G(k*z).....................(2)
k ist eine natürliche Zahl >=2
Für k = 2 entsteht Formel (1).
Aus diesen beiden Formeln lassen sich
Multiplikationsformeln für die Sinusfunktion herleiten.
Für k =2:
sin (2 Pi z) = 2 sin ( Pi z) * sin[Pi (z + ½)]………………(3)
Für k >= 2:
sin (k Pi z ) = 2^(k-1)*sin(Pi z)*sin[Pi(z+1/k)*.sin[Pi(z+2/k).
*......... *sin[Pi(z +{k-1}/ k]...............................................(4)
Wir fügen noch eine etwas bekanntere Beziehung
aus dem Formelkranz der Gammafunktion bei :
G(z) * G(1-z) = Pi / sim (Pi z)...........................................(5)
Allgemeine Bemerkung
Ich bin nicht der Meinung, dass man alle diese Formeln
kennen sollte, auch sollte von den Studierenden nicht
verlangt werden, selbständig Herleitungen dieser Formeln,
auch nicht der ersten Formel, durchzuführen.
Hingegen sollte man imstande sein, diese Formeln
souverän anzuwenden
Wie das gemeint ist, zeige ich an der folgender Aufgabe:
Mit Hilfe der ersten und fünften Formel leite man
die Beziehung (3) her.
Ausführung
Ersetze in der Legendreschen Identität (1)
G(z) * G(z + ½) = Pi ^ ½ *2 ^(1-2z) *G(2z)............................(a)
die Variable z durch (½ - z ); es entsteht die Relation
G(½ -z) * G(1-z) = Pi ^ ½ *2 ^(2z) *G(1-2z)..........................(b)
Wir berechnen nun sin(2 Pi z); dazu ersetzen wir
in Formel (5) Pi z durch 2 Pi z und lösen nach
sin(2 Pi z) auf; es kommt
sin(2 Pi z) = Pi / [G(2z) *G(1-2z)]………………………
Aus (a) berechnen wir G(2z):
G(2z) =[G(z) * G(z + ½)] / [Pi ^ ½ *2 ^(1-2z)]................(a*)
Aus (b) berechnen wir G(1-2z):
G(1-2z) = [G(½ -z) * G(1-z)] / [Pi ^ ½*2 ^(2z)]...............(b*)
Setzt man G(2z) aus(a*) und G(1-2z) aus (b*)
in (c) ein, so entsteht nach Vereinfachungen
sin(2 Pi z) =
= 2 [Pi /{G(z)*G(1-z)]*[Pi /{G(z + ½ )*G( ½ -z )}
In der ersten eckigen Klammer steht sin(Pi z) ,
in der zweiten sin {Pi(z + ½) }; damit ist (3)
hergeleitet.
Anmerkung
Ersetzen wir in (3) z durch x / Pi, so erhalten wir
die Relation
sin ( 2 x ) = 2 sin x * sin (x + Pi/2); ersetzt man darin
sin (x + Pi/2) durch cos x, so entsteht die bekannte
Doppelwinkelformel der Sinusfunktion :
sin ( 2 x ) = 2 sin x * cos x
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
BRAVO !
MfG
H.R.Moser,megamath
|
Berta
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 26. April, 2002 - 04:17: |
|
Herzlichen Dank, megamath!
Es eröffnen sich da ja ungeahnte Querverbindungen!
Ist sehr interessant.
Ich muss das nun alles erst einmal durcharbeiten.
Du hast schon recht damit, was Du in Deiner "Allgemeinen Bemerkung" schreibst, und so wird es bei uns ohnehin gehandhabt.
Liebe Grüße
Berta |
H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. April, 2002 - 21:38: |
|
Hi Berta,
Es folgt eine kleine Uebungsaufgabe zur Identität
von Legendre zwecks Vertiefung des bisher Gelernten !
G(x) stelle wiederum Gamma (x) dar.
Man soll den Term x1 =G (1/12) ,
durch x3 = G (3/12) = G (1/4) und
x4 = G (4/12) = G (1/3) darstellen.
Das Resultat lautet:
x1 = 2^(- ¼)*3 ^(3/8) * wurzel(w / Pi)*x3*x4..........................®
mit w = wurzel(3) + 1.
Lösung.
Weitere Bezeichnungen
zur Abkürzung setzen wir für k = 1 , 2 , 3 ,....,10, 11:
xk = G (k/12) .............................................................................(X)
Weiter sei
yk = sin (Pi* k/12) ; w = wurzel (3) + 1
Mit elementarer Goniometrie erhalten wir der Reihe nach:
y1 = 1 / ( 2 ^ (½) * w ) , y2 = ½ , y3 = 1 / ( 2 ^ (½) )
y4 = wurzel(3)/2, y5 = w / 2^(3/2), y6 = 1 …………………..(Y)
u.s.w.
Zusammenstellung der benötigten Relationen
G(x) = (x-1)*G(x-1)....................................................................(1)
G(x) * G(1-x) = Pi / sin ( Pi x )...................................................(2)
Ersetze in der Legendreschen Identität
G(z)*G(z + ½ ) = wurzel(Pi)/ 2^(2z-1) * G(2z) oder
G(z) * G(z + ½) = Pi ^ ½ *2 ^ (1-2z) *G(2z)............................
die Variable z durch ½ x ; es entsteht die Relation
G( ½ x ) * G( ½ (x+1)) = Pi ^ ½ *2 ^(1-x) * G(x)......................(3)
Ferner gilt, wie man zeigen kann, eine analoge Formel
für drei Gammafaktoren links:
G(x/3) * G((x +1)/3) G((x+2)/3) = 2*Pi * 3^(½ - x) *G(x)……(4)
Mit Hilfe dieser Vorbereitungen lassen sich sechs
einzelne Formeln mit Produkten xj* xk mit k = 12 -j
anschreiben, nämlich:
x1* x11 = G(1/12)*G(11/12) = Pi / sin (Pi/12) ,also mit (Y)
x1* x11 = 2 ^ ½ * w * Pi……………………………………..(5.1)
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
x2 * x10 = G(2/12)*G(10/12) = Pi / sin (2Pi/12) ,also mit (Y)
x2* x10 = 2 * Pi………………………………………………(5.2)
°°°°°°°°°°°°°°°°°
x3 * x9 = G(3/12)*G(9/12) = Pi / sin (3Pi/12) ,also mit (Y)
x3 * x9 = 2 ^ ½ * Pi……………………………………………(5.3)
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
x4* x8 = G(4/12)*G(8/12) = Pi / sin (4Pi/12) ,also mit (Y)
x4 * x8 = 2* 3 ^ (-½) *Pi……………………………………….(5.4)
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
x5 * x7 = G(5/12)*G(7/12) = Pi / sin (5Pi/12) ,also mit (Y)
x5 * x7 = 2 ^ (3/2) * w^(-1) * Pi……………………………….(5.5)
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
x6* x6 = G(6/12)*G(6/12) = Pi / sin (6Pi/12) ,also mit (Y)
x6* x6 = Pi , also x6 = wurzel(Pi)…………….. (5.6)
°°°°°°°°°°°°
nota bene: die letzte Formel ist allgemein bekannt !
Wir stellen fest :
Als Aufgabe bleibt nur übrig, die Werte von x1,x2 und x5
zu bestimmen.
Wir haben uns zum Ziel gesetzt, x1 zu berechnen
Zunächst leiten wir drei weitere gewichtige Relationen her.
In der Formel (3) setzen wir für x zuerst den Wert 1/3 ein ,
nachher den Wert x = 1/6, darauf ersetzen wir in der Formel.....(4)
x durch den Wert ¼ ;
es kommt der Reihe nach:
G(1/6) * G(2/3) =Pi^( ½ ) * 2 ^(2/3) * G(1/3) , also
x2 * x8 = Pi^( ½ ) * 2 ^(2/3) * x4………………………………(6)
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
G(1/12)*G(7/12) = Pi^( ½ ) * 2 ^(5/6) * G(1/6) , also
x1 * x7 = Pi^( ½ ) * 2 ^(5/6) * x2………………………………(7)
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
G(1/12)*G(5/12)*G(9/12) = Pi * 2 *3 ^ ( ¼ ) * G(3 /12) , also
x1 * x5 * x9 = Pi * 2 *3 ^ ( ¼ ) * x3 …………………………(8)
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Die neunte Gleichung ist trivial und spielt die Rolle
eines Dummy:
x3 * x4 = x4 * x3 ........................................................................(9)
Jetzt kommt der Clou und krönende Abschluss.
Wir bilden das Produkt der Gleichungen (6), (7), (8), (9):
linke Seiten mal linke Seiten = rechte Seiten mal rechte Seiten
und fassen geschickt zusammen
Es kommt:
x1 * x1 * x2* (x3*x9)* (x4*x8) * (x5 * x7) =
= 2^(5/2)* 3^(¼) *(pi)^2 * x2 *x3 * x4 * x3 * x4
Auf beiden Seiten hebt sich x2 weg.
Die runden Klammern auf der linken Seite werden durch
die entsprechenden Werte gemäss der
Gleichungen (5) ersetzt
Wir lösen nach x1^2 auf und bekommen nach kurzer Rechnen
mit Potenzen:
x1 ^ 2 = 2 ^ (- ½ ) * w / Pi * 3^ ( ¾ ) * (x3*x4)^2, also
x1 = G(1/12) = 2 ^ (- ¼) * wurzel(w / Pi)*3^(3/8) * x3 * x4
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
wie eingangs dieser Arbeit unter® angekündigt.
Viel Vergnügen beim Studium dieser Zeilen wünscht Dir
H.R.Moser,megamath
|
H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. April, 2002 - 21:48: |
|
Hi Berta,
Es folgt eine kleine Uebungsaufgabe zur Identität
von Legendre zwecks Vertiefung des bisher Gelernten !
G(x) stelle wiederum Gamma (x) dar.
Man soll den Term x1 =G (1/12) ,
durch x3 = G (3/12) = G (1/4) und
x4 = G (4/12) = G (1/3) darstellen.
Das Resultat lautet:
x1 = 2^(- ¼)*3 ^(3/8) * wurzel(w / Pi)*x3*x4..........................®
mit w = wurzel(3) + 1.
Lösung.
Weitere Bezeichnungen
zur Abkürzung setzen wir für k = 1 , 2 , 3 ,....,10, 11:
xk = G (k/12) .............................................................................(X)
Weiter sei
yk = sin (Pi* k/12) ; w = wurzel (3) + 1
Mit elementarer Goniometrie erhalten wir der Reihe nach:
y1 = 1 / ( 2 ^ (½) * w ) , y2 = ½ , y3 = 1 / ( 2 ^ (½) )
y4 = wurzel(3)/2, y5 = w / 2^(3/2), y6 = 1 …………………..(Y)
u.s.w.
Zusammenstellung der benötigten Relationen
G(x) = (x-1)*G(x-1)....................................................................(1)
G(x) * G(1-x) = Pi / sin ( Pi x )...................................................(2)
Ersetze in der Legendreschen Identität
G(z)*G(z + ½ ) = wurzel(Pi)/ 2^(2z-1) * G(2z) oder
G(z) * G(z + ½) = Pi ^ ½ *2 ^ (1-2z) *G(2z)............................
die Variable z durch ½ x ; es entsteht die Relation
G( ½ x ) * G( ½ (x+1)) = Pi ^ ½ *2 ^(1-x) * G(x)......................(3)
Ferner gilt, wie man zeigen kann, eine analoge Formel
für drei Gammafaktoren links:
G(x/3) * G((x +1)/3) G((x+2)/3) = 2*Pi * 3^(½ - x) *G(x)……(4)
Mit Hilfe dieser Vorbereitungen lassen sich sechs
einzelne Formeln mit Produkten xj* xk mit k = 12 -j
anschreiben, nämlich:
x1* x11 = G(1/12)*G(11/12) = Pi / sin (Pi/12) ,also mit (Y)
x1* x11 = 2 ^ ½ * w * Pi……………………………………..(5.1)
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
x2 * x10 = G(2/12)*G(10/12) = Pi / sin (2Pi/12) ,also mit (Y)
x2* x10 = 2 * Pi………………………………………………(5.2)
°°°°°°°°°°°°°°°°°
x3 * x9 = G(3/12)*G(9/12) = Pi / sin (3Pi/12) ,also mit (Y)
x3 * x9 = 2 ^ ½ * Pi……………………………………………(5.3)
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
x4* x8 = G(4/12)*G(8/12) = Pi / sin (4Pi/12) ,also mit (Y)
x4 * x8 = 2* 3 ^ (-½) *Pi……………………………………….(5.4)
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
x5 * x7 = G(5/12)*G(7/12) = Pi / sin (5Pi/12) ,also mit (Y)
x5 * x7 = 2 ^ (3/2) * w^(-1) * Pi……………………………….(5.5)
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x6* x6 = G(6/12)*G(6/12) = Pi / sin (6Pi/12) ,also mit (Y)
x6* x6 = Pi , also x6 = wurzel(Pi)…………….. (5.6)
°°°°°°°°°°°°
nota bene: die letzte Formel ist allgemein bekannt !
Wir stellen fest :
Als Aufgabe bleibt nur übrig, die Werte von x1,x2 und x5
zu bestimmen.
Wir haben uns zum Ziel gesetzt, x1 zu berechnen
Zunächst leiten wir drei weitere gewichtige Relationen her.
In der Formel (3) setzen wir für x zuerst den Wert 1/3 ein ,
nachher den Wert x = 1/6, darauf ersetzen wir in der Formel.....(4)
x durch den Wert ¼ ;
es kommt der Reihe nach:
G(1/6) * G(2/3) =Pi^( ½ ) * 2 ^(2/3) * G(1/3) , also
x2 * x8 = Pi^( ½ ) * 2 ^(2/3) * x4………………………………(6)
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
G(1/12)*G(7/12) = Pi^( ½ ) * 2 ^(5/6) * G(1/6) , also
x1 * x7 = Pi^( ½ ) * 2 ^(5/6) * x2………………………………(7)
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G(1/12)*G(5/12)*G(9/12) = Pi * 2 *3 ^ ( ¼ ) * G(3 /12) , also
x1 * x5 * x9 = Pi * 2 *3 ^ ( ¼ ) * x3 …………………………(8)
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Die neunte Gleichung ist trivial und spielt die Rolle
eines Dummy:
x3 * x4 = x4 * x3 ........................................................................(9)
Jetzt kommt der Clou und krönende Abschluss.
Wir bilden das Produkt der Gleichungen (6), (7), (8), (9):
linke Seiten mal linke Seiten = rechte Seiten mal rechte Seiten
und fassen geschickt zusammen
Es kommt:
x1 * x1 * x2* (x3*x9)* (x4*x8) * (x5 * x7) =
= 2^(5/2)* 3^(¼) *(pi)^2 * x2 *x3 * x4 * x3 * x4
Auf beiden Seiten hebt sich x2 weg.
Die runden Klammern auf der linken Seite werden durch
die entsprechenden Werte gemäss der
Gleichungen (5) ersetzt
Wir lösen nach x1^2 auf und bekommen nach kurzer Rechnen
mit Potenzen:
x1 ^ 2 = 2 ^ (- ½ ) * w / Pi * 3^ ( ¾ ) * (x3*x4)^2, also
x1 = G(1/12) = 2 ^ (- ¼) * wurzel(w / Pi)*3^(3/8) * x3 * x4
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
wie eingangs dieser Arbeit unter® angekündigt.
Viel Vergnügen beim Studium dieser Zeilen wünscht Dir
H.R.Moser,megamath
|
Berta
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 29. April, 2002 - 18:15: |
|
hi, megamath!
Ich dank Dir sehr für die Fortsetzung! Ist schon gespeichert...
Heute kamen wir in der Vorlesung anlässlich der Vertauschung von Grenzübergang und Differenzierbarkeit von Funktionenfolgen über die Partialbruchentwicklung von cot(x) (diese konnte ich in keinem Buch finden!) zum Logarithmieren von 1/Gamma(x) und dann dieses Differenzieren.
Ich habe den Zusammenhang noch nicht durchschaut, wir sind aber auch noch nicht fertig damit!
Danke und herzlichen Gruß!
Berta |
H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 29. April, 2002 - 22:25: |
|
Hi Berta,
Dein Interesse an der Gammafunktion
und Deine positiven Reaktionen auf meine Beiträge dazu
sind bemerkenswert und sehr erfreulich.
Besten Dank für Dein Echo !
Wenn Du mir Deine e-mai l- Adresse mitteilen
kannst, werde ich Dir direkt Materialien oder wenigstens
Literaturangaben zur Partialbruchzerlegung der Funktionen
ctg x ,1 / sin x ,1 / cos x, zur Ableitung der Gammafunktion,
zum Begriff der Digammafunktion Psi(x) etc. übermitteln.
Meine e-mail - Adresse ist diesem Beitrag angefügt.
Mir freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath
|
H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 30. April, 2002 - 12:54: |
|
Hi Berta,
Als Fitnessübung unterbreite ich Dir eine kleine
Uebungsaufgabe für Fortgeschrittene zum Thema
Gammafunktion.
Berechne die folgenden bestimmten Integrale
a) J1 = int [(sin t)^(3/2) * dt ] ,
untere Grenze 0, obere Grenze ½ Pi
b) J2 = int [(cost)^(3/2) * dt ] ,
untere Grenze 0, obere Grenze ½ Pi
c) J3 = int [(sin t)^(-1/3) * dt ] ,
untere Grenze 0, obere Grenze ½ Pi
Resultate vorneweg:
J1 = J2 = [Gamma (¼)] ^ 2 / [ 6 * wurzel (2 Pi)]
J3 = [Gamma(1/3)] ^ 3 ] * wurzel(3) / [4 Pi * 2 ^ (1/3)]
Die Herleitungen folgen bei Gelegenheit !
Gruss
H.R.Moser,megamath
|
H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 30. April, 2002 - 18:22: |
|
Hi Berta,
Hier eine Literaturangabe, die Dir nützlich sein könnte.
In der Regel wird das Gebiet der Gammafunktion
erst in den Vorlesungen zur Funktionentheorie,
also unter Benützung komplexer Zahlen, bearbeitet.
Aber es lässt sich propädeutisch auch in der reellen
Analysis behandeln.
Eine gute und elementare Einführung zu diesem
Themenbereich findest Du in dem im Springer Verlag
erschienenen Lehrbuch von Wolfgang Walter, Analysis 1
Das Buch enthält auch Uebungsaufgaben mit Lösungen
Auf Seite 181 findest Du zum Beispiel eine gut lesbare
Einführung in die Partialbruchzerlegung des Cotangens.
Anmerkung
Mit einer weitern Mitteilung an Dich per e-Mail
bin ich leider nicht durchgedrungen; woran
kann das liegen ?
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 30. April, 2002 - 22:21: |
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Hi Berta,
Zur Berechnung der Integrale J1, J2 , J3 mit
a) J1 = int [(sin t)^(3/2) * dt ] ,
untere Grenze 0, obere Grenze ½ Pi
b) J2 = int [(cost)^(3/2) * dt ] ,
untere Grenze 0, obere Grenze ½ Pi
c) J3 = int [(sin t)^(-1/3) * dt ] ,
untere Grenze 0, obere Grenze ½ Pi
benötigen wir einige Grundformeln, die wir hier
zusammenstellen.
1.
Das so genannte Eulersche Integral erster Gattung,
die Betafunktion B(p,q), ist das Integral
B(p,q) = int [x^(p-1) * (1-x)^(q-1)*dx ] , (p>0,q>0)….(1.1)
untere Grenze 0 , obere Grenze 1.
Mit Hilfe der Gammafunktion G(p)
( Eulersches Integral zweiter Gattung)
G(p) = int [e ^ (-x) * x^(p-1) * dx ] ,(p>0) ,
untere Grenze 0 ,obere Grenze unendlich,
kann B(p,q) auch so geschrieben werden:
B(p,q) = [G(p) * G(q) ] / [G( p + q ) ] ...........................(1.2)
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2.
Für G(x) gilt für x>0 die Funktionalgleichung
G(x +1)= x* G(x) .................................................... ......(2.1)
Also für p >1
G(p)=(p-1) * G(p-1)……………………………………(2.2)
3.
Die Gammafunktion genügt einer weitern
Funktionsgleichung:
G(x) G(1-x) = Pi / sin(Pi *x), (x nicht ganzzahlig)........(3.1)
Mit (2.2) wird daraus:
G(1-p)*G(1+p) = p*Pi/sin(p*Pi)………………………(3.2)
Für x = ½ kommt :
G(½) = wurzel(Pi)..........................................................(3.3)
4.
Mit xk = G(k/12) kommt (siehe auch in einer früheren
Arbeit nach):
x3 * x4 = Pi* wurzel(2)..................................................(4.1)
d.h.
G(¾) = Pi* wurzel(2) / G(¼)..........................................(4.2)
5.
Reduktion auf Argumente zwischen null und eins
mit Hilfe der Formel (3.2.)
G(5/4) = Pi * wurzel(2) / {4*G(¾ )}..............................(5.1.)
G(7/4) = 3 Pi * wurzel(2) / {4*G(¼)}............................(5.2.)
Nun sind alle nötigen Vorbereitungen getroffen,
und es geht jetzt darum, die vorgelegten Integrale
anzusteuern.
Es ist sinnvoll, im Integral der Formel 1.1 die
folgende Substitution auszuführen :
x = (sin t)^2 , 1 - x = ( cos t )^2 , dx = 2 sin t cos t
Für B(p,q) kann nach(1.1) geschrieben werden
(untere Grenze 0 , obere Grenze ½ Pi ) :
B(p,q ) = 2 int [ (sin t)^(2p-1)*(cos t)^(2q –1)* dt ]…(6)
= [G(p)*G(q) ] / [G(p+q) ]
Jetzt trennen sich die Wege für die Berechnung der
Integrale J1, J2 einerseits und J3 andrerseits.
Teil (I)
Wir setzen in (6) p = 5/4 und q = ½ ein; es kommt:
2 int [ (sin t)^(3/2)*(cos t)^0 * dt ]…
= [G(5/4)*G( ½ ) ] / [G(7/4) ] oder
2 int [ (sin t)^(3/2) * dt ]…
= [G(5/4)*G(½)] / [G(7/4)] =
= [G(5/4)*wurzel(Pi)] / [G(7/4)]
mit Hilfe von (5.1.) und (5.2.) entsteht daraus:
2 int [(sin t)^(3/2) * dt ] =
1/3*wurzel(Pi)*G( ¼) /G(¾)
Damit wird
J1 = int [(sin t)^(3/2) * dt ] = 1/6*wurzel(Pi)*G( ¼) /G(¾)
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Die rechte Seite kann wegen der Formel (4.2) auch
so geschrieben werden:
[G(¼)]^2 / [6*wurzel(2*Pi)]
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Es ist leicht einzusehen, dass J2 = J1 gilt.
Fortsetzung mit J3 folgt.
Nota bene :
Um das Rätsel lösen zu können, benötige ich zur Kontrolle
die entsprechende e-mail Adresse in einer message
an mich !
Besten Dank zum voraus .
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Berta
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. Mai, 2002 - 07:01: |
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Hi, megamath!
Ich danke Dir für das viele interessante und ausführliche mathematische Futter!
Da machst Du Dir ja viel Arbeit! Danke!
Die angegebene Stelle im Walter habe ich gefunden, das war gerade das Buch, in dem ich nicht nachgesehen habe!
In einer 3. e-mail an Dich steht meine Adresse - hast DU alle meine Nachrichten bekommen?
Liebe Grüße
Berta
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H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. Mai, 2002 - 10:43: |
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Hi Berta,
Aller guten Dinge sind drei, trotzdem ist
das Rätsel nicht gelöst ; ich vermute,
dass diese Aufgabe keine Lösung hat !
Der Beweis dieser Vermutung ist
allerdings noch ausstehend.
Notlösung: Postadresse.
Bis dann ! Herzliche Grüsse
H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. Mai, 2002 - 14:08: |
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Hi Berta,
Mit diesem Beitrag soll J3 berechnet werden;
es gelten dabei die Nummerierung und
Bezeichnungen der vorhergehenden Arbeit.
Zusätzlich benötigen wir die früher hergeleitete
Beziehung
x4*x8=G(1/3)*G(2/3) = G(4/12)*G(8/12) =
Pi / sin( 4Pi/12) = 2 * 3 ^ (- ½) * Pi………………(7)
Das bestimmte Integral J3 lautet:
c) J3 = int [(sin t)^(-1/3) * dt ] ,
untere Grenze 0, obere Grenze ½ Pi
Wir setzen jetzt in (6) p = q = 1/3 ein; wir
erhalten damit 2p – 1 = 2 q – 1 = - 1/3
und die Integralformel:
(untere Grenze 0,obere Grenze ½ Pi)
B = 2*int [dt /{ (sin t * cos t)^(1/3) }] =
[G(1/3)]^2 / [G(2/3)], mit (7) kommt:
B = wurzel(3)* [G(1/3)]^3 / (2*Pi),
also
int [dt /{ (sin t * cos t)^(1/3) }] =
= wurzel(3)* [G(1/3)]^3 / (4*Pi)........................... (8)
untere Grenze 0,obere Grenze 1
Nun substituieren) wir in (8):
2 t = u , also 2 * sin t cos t = sin(2t) = sin u
und dt = ½ du.
Es entsteht mit den Grenzen u = 0 bis u = Pi
int [ du / (sin u )^1/3 ] =
= wurzel(3)* [G(1/3)]^3 / [2*Pi*2^(1/3)]
Dieses Integral stellt, wie man leicht bestätigt,
gerade 2*J3 dar, somit gilt:
J3 = int [(sin t)^(-1/3) * dt =
= wurzel(3)* [G(1/3)]^3 / [4*Pi*2^(1/3)]
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Anmerkungen
a)
Mein Computeralgebra-System Maple kann den
numerischen Wert von J 3 berechnen,
nicht aber den exakten Wert mittels der
Gammafunktion ; die Näherung lautet:
J3 ~ 2.10327316
b)
Alle Versuche, das Problem zu lösen, blieben
leider erfolglos, auch die Notlösungen !
Fax-Nr.?
Herzliche Grüsse
H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 03. Mai, 2002 - 10:31: |
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Hi Berta,
Zwei interessante Integrale, die wunderschön zum
eben behandelten Thema passen, findest Du
hier in diesem Board in der Anfrage von
Titan Zwick vom 2.5.2002, 22.34 Uhr.
Ich habe versucht, diese Aufgabe so ausführlich
wie nötig zu lösen, damit die einzelnen
Schritte auch nachvollzogen werden können.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath
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Berta
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 03. Mai, 2002 - 12:40: |
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Ich danke Dir sehr für den Hinweis!
Herzliche Grüße
Berta |
Kati
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. Mai, 2002 - 18:26: |
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HI Megamath!
Du scheinst Dich ja mit der Gammafkt bestens auszukennen!
Ich habe in einem Deiner Beiträge etwas über die Differenzierbarkeit der Gammafkt gelesen..
Genau das ist meine Aufgabe, an der ich seit Stunden verzweifle!
Jetzt bin ich schon soweit, dass ich den Rechner anschmeißen musste, um im Zahlreich-"Himmel" nach Hilfe zu suchen!
Du scheinst wirklich ein sehr guter Ansprechpartner zu sein! Kanna Du mir vielleicht helfen?
Ich soll zeigen, dass die Gammafkt diffbar ist, und zwar mit gamma`(x)= Int 0 bis unendl. e^-t t^(x-1) ln t dt für x>0
zudem soll gezeigt werden, dass das Integral konvergiert.
Ich denke, dem 2, Teil kann ich durch abschätzen näherkommen, aber der Rest??? |
H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 16. Mai, 2002 - 08:07: |
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Hi Katja,
Aus Zeitgründen muss ich mich kurz fassen.
Drei Bemerkungen sollten genügen.
1.
Die Ableitung der allgemeinen Exponentialfunktion
y = a^x ( a >0 ) lautet:
y ´ = a ^ x * lna
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2.
Differentiation eines bestimmten Integrals nach einem
Parameter.
Wenn die Funktion f (x , p) ausser von x auch noch von
einem Parameter p abhängt, so ist das bestimmte Integral
J = int [f(x,p) * dx ],untere Grenze a, obere Grenze b
eine Funktion von p: J= F(p).
Ist f(x,p) für alle Wertpaare (x,.p) im Bereich a <= x <= b ,
p1 < = p < = p2 stetig und ist für diese Wertepaare
die partielle Ableitung von f nach p stetig, so darf man
unter dem Integralzeichen nach dem Parameter p
differenzieren.
3.
Wir nehmen uns die Gammafunktion G(x) vor:
G(x) = int [e^(-t) * t ^(x – 1 ) * dt ];
Untere Grenze 0,obree Grenze unendlich;
man DARF im Sinne des Abschnitt 2) nach x
differenzieren:
erste Ableitung:
G ´(x) = int [e^(-t) *(ln t) * t ^(x – 1 ) * dt ]
analog kommt die zweite Ableitung:
G ´´(x) = int [e^(-t) *(ln t)^2 * t ^(x – 1 ) * dt ]
Für die k-te Ableitung kommt:
G{ k-Strich }(x) = int [e^(-t) *(ln t)^k * t ^(x – 1 ) * dt ]
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Alle diese Integrale sind für x > 0 absolut konvergent
Näheres dazu siehe
Walter, Analysis 1 , Springer Verlag
Seiten 330/331
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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