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Beitrag |
    
Tantor (tantor)
Neues Mitglied
Benutzername: tantor
Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. April, 2002 - 20:52: | 
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Zeigen Sie, dass eine Abbildung genau dann surjektiv ist, wenn sie ein Rechtsinverses besitzt.
Dies wird garantiert eine Aufgabe meiner Klausur am Freitag werden, bitte helft mir ich weiß nicht wie ich das zeigen soll.
THX
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Zaph (zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 976
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. April, 2002 - 00:37: |
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Sei f: X -> Y die Abbildung.
Erste Richtung:
Sei g: Y -> X das Rechtsinverse.
Zeige: f ist surjektiv.
Sei y aus Y. Zeige: Es gibt ein x aus X mit f(x) = y.
Da g rechtinvers, gilt (f°g)(y) = y für alle y aus Y. Es ist aber (f°g)(y) = f(g(y)). Setze nun x := g(y). Dann ist in der Tat f(x) = f(g(y)) = (f°g)(y) = y.
Zweite Richtung:
Sei f surjektiv.
Gesucht ist eine Funktion g: Y -> X mit (f°g)(y) = y für alle y aus Y.
Da f surjektiv, gibt es zu jedem y aus Y ein xy mit f(xy) = y.
Definiere nun g: Y->X durch g(y) := xy.
Dann gilt
(f°g)(y) = f(g(y)) = f(xy) = y.
q. e. d. |
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