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Carmen (Hussi)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. November, 2000 - 20:41: | 
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Hi Leute,
kann mir bitte jmd bei folgender Frage helfen:
Ist die aus n Ziffern 1 bestehende Dezimalzahl
(1111...1)eine Primzahl, so ist auch n eine Primzahl!
Vielen Dank im voraus! |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 16. November, 2000 - 17:20: |
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Hi Carmen,
wenn man eine aus n Einsen bestehende Zahl mit 9 multipliziert und Eins addiert, erhält man 10n.
Sei z eine aus n Einsen bestehende Zahl. Dann gilt also: z = (10n - 1) / 9
Wenn nun z eine Primzahl ist und wir aber annehmen, daß n keine Primzahl ist, dann gibt es also Zahlen 1<p,q<n mit n=p*q. Dabei können wir p und q so wählen, daß p eine Primzahl ist.
Ich behaupte nun, daß dann die genau aus p Einsen bestehende Zahl ein Teiler von z ist. Das ist aber ein Widerspruch zur Vorraussetzung z prim. Also war die Annahme, daß n nicht prim ist, falsch.
Die Zahl aus genau p Einsen kann ich schreiben als: (10p-1)/9
Zum Beweis der Teilereigenschaft:
Betrachte (10n-1) / (10p-1). Mit der Methode der Polynomdivision ergibt das:
= 10n-p*(10p-1) + 10n-p - 1
= 10n-p*(10p-1) + 10n-2p*(10p-1) + 10n-2p - 1
usw. das ganze q-mal (denn n/p = q).
= 10n-p*(10p-1) + 10n-2p*(10p-1) + ... + 10n-(q-1)p*(10p-1) + 10p - 1
= 10n-p*(10p-1) + 10n-2p*(10p-1) + ... + 10n-(q-1)p*(10p-1) + 1*(10p-1)
Es ist nämlich n-(q-1)p = p
Diese Division geht also auf ohne Rest.
Also ist
(10q-1) ein Teiler von (10p-1).
Dann ist
(10p-1)/9 ein Teiler von (10n-1)/9 = z !?
denn wir wissen ja, daß (10p-1)/9 und (10n-1)/9 ganzzahlig sind.
Ausserdem ist (10p-1)/9 kein trivialer Teiler von z, denn einmal ist (10p-1)/9 < z und für auch 1 < (10p-1)/9, denn weil p Primzahl ist, ist p>1.
Gruß
Matroid |
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