| Autor |
Beitrag |
    
Thomas
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. November, 2000 - 18:47: | 
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In dieser Aufgabe soll der Wert des Ausdrucks
WURZEL(2 + WURZEL(2 + WURZEL(2 + WURZEL(2 +....
berechnet werden, d.h. der Grenzwert der Folge (a_n), die rekursiv
a_0:=0, a_n+1:= WURZEL(2 + a_n)
definiert ist. Gehen sie dazu folgendermaßen vor:
a) Zeigen sie, dass 1<= a_n <=2 für alle n aus den natürlichen Zahlen gilt.
b) Zeigen sie, dass die Folge (a_n) monoton steigend ist.
c) Folgern sie, dass (a_n) konvergiert und berechnen sie den Grenzwert lim (a_n) mit n gegen unendlich. |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 16. November, 2000 - 20:23: |
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a) Vollständige Induktion - solltest du selbst hinbekommen.
b) Betrachte fx) = x² - x - 2. Eine kurze Kurvendiskussion zeigt: f(x) < 0 für 1 < x < 2. Also ist x² > x + 2, und damit x > Wurzel(x + 2) für 1 < x < 2. Damit an+1 = Wurzel(an + 2) > an.
c) Eine beschränkte und monotone Folge ist konvergent. Für den Grenzwert a muss gelten (klar wieso?):
a = Wurzel(a + 2).
Berechne hieraus a. |
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