| Autor |
Beitrag |
    
Maurice
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. November, 2000 - 15:51: | 
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Wie kann bewiesen werden, daß 1992 = x^2 -2 * y^2 kein ganzahliges Lösungspaar haben kann? |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 16. November, 2000 - 19:56: |
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Angenommen, es gibt derartige x und y.
Wenn x durch 3 teilbar wäre, dann auch y (da 1992 durch 3 teilbar ist). Dann wären aber x² und y², und damit auch 1992, sogar durch 9 teilbar. Das stimmt aber nicht. Das gleiche würde folgen, wenn y durch 3 teilbar wäre. Also sind weder x noch y durch 3 teilbar.
Wenn x den Rest 1 lässt, wenn x durch 3 geteilt wird, dann auch x².
Wenn x den Rest 2 lässt, wenn x durch 3 geteilt wird, dann lässt x² den Rest 1.
Also lässt x² bei Division durch 3 immer den Rest 1.
Das gleiche gilt für y².
Also lässt x² - 2y² bei Division durch 3 den Rest 2. Widerspruch!
Verstanden? |
Xanatos
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 21. November, 2000 - 17:04: |
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Wie kommt man zu der Annahme mit der 3?
>Wenn x den Rest 1 lässt, wenn x durch 3 geteilt wird, dann auch x².
>Wenn x den Rest 2 lässt, wenn x durch 3 geteilt wird, dann lässt x² den Rest 1.
Wie lässt sich das beweisen?
>Verstanden?
Nein |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 21. November, 2000 - 18:26: |
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Hi Xanatos,
wenn x bei Division durch 3 den Rest 1 lässt, dann lässt sich x schreiben als x = 3k + 1. Dann ist x² = (3k + 1)² = 9k² + 6k + 1 = 3(3k² + 2k) + 1. Also ist x² ein Vielfaches von 3 plus 1.
Ebenso folgt aus x = 3k + 2, dass x² = 3(3k² + 4k + 1) + 1.
Nun klar? |
Xanatos
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 21. November, 2000 - 18:47: |
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Beweis geht klar.
Aber immernoch die Frage wie kommt man zu der Annahme mit der 3?
Und was hat das mit der Aufgabenstellung zu tun?
Wieso sagt Teilbarkeit durch 3 etwas über die Aufgabenstellung aus bzw. die Nichtlösbarkeit? |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 21. November, 2000 - 20:10: |
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Dem ersten Anschein nach hat die Aufgabe nichts mit der Teilbarkeit durch 3 zu tun.
Der Beweis ist indirekt, das heißt, es wird angenommen, dass es x und y gibt, sodass 1992 = x² - 2y² erfüllt ist. Gelingt es, diese Annahme zu einem Widerspruch zu führen, dann ist bewiesen, das es keine x und y mit 1992 = x² - 2y² gibt.
Aus der Annahme folgt aber (siehe oben), dass 1992 bei Division durch 3 den Rest 2 lässt. Das ist der Widerspruch, denn 1992 = 3 * 664. |
xy
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. November, 2000 - 15:11: |
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Hi,
warum sollte das den Rest 2 lassen, das versteh ich nicht so ganz.
wenn x^2 und y^2 je den Rest 1 lassen, dann komme ich auf 1-2*1= -1. Demnach müsste 1992 beim Teilen durch 3 den Rest -1 lassen, also 1993 müßte durch 3 teilbar sein (was ja auch ein Widerspruch wäre). Für nochmalige Erklärung wär ich sehr dankbar.
Kann man das eigentlich verallgemeinern in einem Satz der Form "sei n eine nat. Zahl derart, daß ...,dann hat n=x^2-2y^2 kein ganzzahliges Lösungspaar"? |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. November, 2000 - 18:00: |
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Eine Zahl lässt bei Division durch 3 immer den Rest 0, 1 oder 2.
Wenn m = 3k - 1, dann kannst du auch schreiben m = 3(k - 1) + 2, also lässt m bei Division durch 3 den Rest 2. (Sprechweise: "-1 ist kongruent 2 modulo 3.")
Du kannst den Satz verallgemeinern:
Wenn n eine Zahl ist, die durch 3, aber nicht durch 9 teilbar ist, dann hat n = x² - 2y² kein ganzzahliges Lösungspaar.
Wahrscheinlich lässt sich das noch weiter verallgemeinern ... |
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