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Beitrag |
    
Papst
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. November, 2000 - 14:04: | 
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Hallo!
seien a,x,b reelle Zahlen
Welche der folgenden Implikationen sind allgemein gültig bzw. i.A. falsch ?
1.) Betrag(x-a) < b => x > a - 2b
2.) ab > 1 und a < 1 => b > 1
3.) x(x-2a^2) > 0 <=> Betrag(x-a^2) > a^2
Wie geht man an solche Dinge heran ?
DANKE,
Papst |
Hanno Land (Hanno)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. November, 2000 - 16:07: |
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Hmm, wie ich an solche Dinge drangehe .. gute Frage ... also generell gilt bei Beträgen immer eine Fallunterscheidung zu machen, damit der Betrag verschwindet, und bei den Ungleichungen, kann man häufig schön nach oben oder unten abschätzen und hat es dann leichter, ich versuche mal an den aufgaben klarzumachen, was ich meine:
1) I.Fall (x³a):
x - a < b Þ x > a -2b stelle auf der linken Seite um:
x < b+a Þ x > a-2b , da gilt x kleiner b+a kann man auf der rechten Seite der Implikation das x nach oben mit b+a abschätzen, also folgt:
x < b+a Þ b+a > a-2b ... dies kann man dann nochmal umstellen und landet bei:
x < b+a Þ 0 > -b .. also gilt diese Aussage schonmal nur für b>0.
II:Fall (x<a):
Dann steht da:
a - x < b Þ x > a-2b man stelle wieder um:
a < b+x Þ x > a-2b ... man nutze nun die Bedingung dieses Falles (x<a) aus [ich gebe zu es ist mathematisch nicht sonderlich elegant, im GegenteilL] es folgt:
x < b+x Þ a > a-2b nun folgt dann gleich:
0 < b Þ 0 > -2b
Insgesamt gilt die Implikation (1) nur für a,x beliebig und b>0.
2.) Ist offensichtlich falsch ... Gegenbeispiel a=-1 b=-2
... allerdings wenn wir vorraussetzen a,b > 0 kann man wieder a*b mit 1*b nach oben abschätzen, da a<1. also folgt
1*b=b>1 Þ b>1 ... so stimmt die Implikation.
3.) Bei Äquivalenz ist immer die Implikation in die eine und dann in die andere Richtung zu zeigen ...
Ich betrachte zu erst <= die Implikation von rechts nach links:
Wieder eine Fallunterscheidung:
I.Fall x³a²
x - a²> a² Þ x(x-2a²)>0 daraus folgt natürlich
x > 2a² Þ x(x-2a²)>0 ... nun bietet sich (weil Vergleich mit Null stattfindet) die reine Betrachtung der Vorzeichen an: x ist immer positiv, da x>2a² die Klammer (x-2a²) ist somit auch immer positiv ... somit ist "positiv mal positiv" immer größer 0 !
II.Fall: x<a²
a² - x > a² Þ x(x-2a²)>0 .. also muss x£0 sein.
Für x=0 ist diese Implikation falsch, d 0*(..) nicht größer 0!, also muss x<0 ! Wieder der Vorzweichenvergelich führt zu -*(-) > 0.
Also die implikation von rechts nach links richtig für alle x¹0.
Nun betrachte ich "Þ":
x(x-2a²)>0 Þ |x-a²| > a² es folgt mit umstellen:
x²-2xa²>0 Þ |x-a²| > a²
Nun wieder Fallunterscheidung:
I.Fall [x>0]
x>2a² Þ |x-a²| > a² wenn x>2a² ist x erstrecht größer a² also folgt:
x>2a² Þ x-a²> a² ...
x>2a² Þ x>2a² ... das ist wahrhaftig wahr !
II.Fall x<0 es folgt:
x<2a² Þ |x-a²| > a² nun wie oben ..
x<2a² Þ a²-x > a² umstellen ..
x<2a² Þ -x > 0 das ist wieder eine wahre Aussage.
Somit gilt insgesamt für (3) diese Äquivalenz ist nur gültig für alle x ungleich 0 !
So, ich hoffe das klappt so, bitte nochmal gut nachvollziehen, bzw nachrechnen !!! |
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