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Beweis von Ungleichungen

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Mila (Taragonina)
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Veröffentlicht am Montag, den 13. November, 2000 - 21:04:   Beitrag drucken

Beweise:
1.000.001 hoch 1.000.000 < 1.000.000 hoch 1.000.001
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Matroid (Matroid)
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Veröffentlicht am Montag, den 13. November, 2000 - 23:09:   Beitrag drucken

Ich betrachte die Ungleichung (x+1)n<xn+1
für n=1.000.000
Die Ungleichung ist falsch für x=1.
Für x=2 hat man 3n<2n+1 <=> (3/2)n<2 und das stimmt nur für n=1.
Bis hierhin ist die Ungleichung nicht sehr glaubhaft.
Kann natürlich sein, daß (x+1)n langsame wächst als xn+1.
Ich probiere mal folgenden Ausdruck:
(1000001/1000000)1000000<1000000
Ja, das kommt hin (1000001/1000000)1000000 = 2,71.... (wenn mein Taschenrechner mich nicht betrügt).
Sieht aus wie e.
Mehr fällt mir heute nicht mehr dazu ein.
Gruß
Matroid
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Matroid (Matroid)
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Veröffentlicht am Dienstag, den 14. November, 2000 - 22:12:   Beitrag drucken

Was mir noch eingefallen ist:
Also, die Ungleichung hat etwas mit der Exponentialfunktion zu tun.
Betrachte: fn = (1 + 1/n)n
Diese Folge ist streng monoton wachsend und es gilt 2<=fn<=3.
Die Monotonie zeigt man, indem man fn/fn-1>=((n+1)/n)n*((n-1)/n)n-1
=((n2-1)/n2)n * n/(n-1)
=(1 -1/n2)n * n/(n-1)
Nach der bernoullischen Ungleichung ist das
>=(1-1/n)*n/(n-1)=1.
Für n=1 ist fn=2 => 2<=fn

Die Abschätzung gegen 3 sieht man, wenn man (1+1/n)n als Sn k=0 (nk)*1/nk entwickelt und die Glieder (nk)*1/nk (mit k>0) gegen 1/2k-1 nach oben abschätzt. Sn k=1 1/2k-1 < 2
(1+1/n)n = Sn k=0 (nk)*1/nk
= 1+ Sn k=1 (nk)*1/nk
< 1 + 2
[Nebenbei: limn->¥ fn = e]

Also ist für n>=3, die (zu beweisende) Ungleichung wahr, denn sie lautet (umgeformt) (1+1/n)n<3<n

Setze n=1000000 =>
(1000001/1000000)n < 1000000
<=> 1000001n < 1000000n+1

Gruß
Matroid
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Mila (Taragonina)
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Veröffentlicht am Montag, den 20. November, 2000 - 16:23:   Beitrag drucken

Hi Matroid!

Vielen Dank für die Lösung.
So ganz verstehe ich sie noch nicht,aber sie hört sich mal richtig an.

Kannst du mir vielleicht verraten wie man auf sowas kommt?
Ich muß nämlich noch ein paar schwierigere Ungleichungen lösen.

Grüße M.T.
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Matroid (Matroid)
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Veröffentlicht am Montag, den 20. November, 2000 - 17:19:   Beitrag drucken

Hi Mila,
die entscheidende Erkenntnis war, den Zusammenhang mit e zu erkennen. Für ex gibt es verschiedene Folgen und Reihenentwicklungen. Irgendwie ist bei solchen Aufgaben eine Idee erforderlich und dann Zähigkeit. Wenn es nämlich wahr ist, dann muß man es auch beweisen können.
Gruß
Matroid

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