| Autor |
Beitrag |
    
slava
| | Veröffentlicht am Montag, den 13. November, 2000 - 09:02: | 
|
hallo!
Aufgabe: Sei G=(M,.) Gruppe.
a)Sei a element M mit Ordnung r element N+ (positive natürliche Zahlen) in G.
Beweise:ahoch-1 hat dieselbe Ordnung r in G wie a.
b)Sei G nicht-abelsch.
Zeige: G hat mindestens zwei nicht.triviale abelsche Untergruppen. |
Hanno
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 14. November, 2000 - 17:21: |
|
Ich glaube ich hab da was ...
a)
o, dann mal los:
Die Ordnung eines Elementes a ist die kleinste Natürliche Zahl b für die gilt:
a^b=e !!
Das Inverse a^-1 ist definiert durch a*a^-1 = e = a^-1*a
Man kann nun immer von der einen Seite a und von der anderen Seite a^-1 hinzufügen:
a*a^-1=e <=> a*a*a^-1*a^-1 = a*a^-1 = e <=> a*a*a*a^-1*a^-1*a^-1 = e
Das mache genau b-mal ... es gilt dann a^b * (a^-1)^b = e.
Dabei ist aber wegen der Def. der Ordnung a^b=e , also muss sein (a^-1)^b = e, also muss a^1 die Ordnung b haben also die Ordnung von a gleich der Ordnung von a^-1. qed |
Hanno
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 14. November, 2000 - 17:22: |
|
b)
Wenn G nicht abelsch ist, dann muss G ungleich {e} und auch ungleich {e,a,a^-1} sein !! G enthält also zwei von einander verschiedene Elemente a,b mit a ungleich b und a ungleich b^1.
Da G aber eine Gruppe ist enthält sie die Inversen und auch das neutrale Element e. Für e gilt: e*a = a*e (gilt natürlich auch in nicht abelschen Gruppen), ebenso für die Inversen a^-1*a = e = a*a^-1.
Es gibt also die (nicht triviale) Untergrupee {e,a,a^-1) von G. Sie ist wie gerade oben gezeigt abgeschlossen gegenüber Multiplikation und der Inversenbildung und enthält das neutrale Element.
Analog erhält man, dass G die UGR {e,b,b^-1} enthält. qed ! |
|
