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Beitrag |
    
Björn Braun (Braun)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 11. November, 2000 - 15:58: | 
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Hi Leute! Mein Problem lautet heute:
Man zeige, dass die Gleichung Ln(z1*z2)= Ln(z1)+Ln (z2) im allgemeinen falsch (Beispiel genügt), dass sie aber richtig ist, wenn Rez1>0 und
Re z2>0 ist. Hierbei gilt: z ist elemt aus C ohne die 0 und es ist definiert: Lnz=ln|z|+i(Argz) |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. November, 2000 - 01:37: |
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Wenn z=a+ib, dann ist für mich Argz = arctan b/a.
Wenn a=0, dann ist Argz=p/2.
Gegenbeispiel:
Ich tippe auf z=w(-1)=i.
ln(i*i)=ln(-1)=ln(|1|)+i*p/2
und
ln(i)=ln(|1|)+i*arctan(0/1)=ln(|1|)+i*0
Oder etwa nicht.
Daß für z1,z2 mit Re(z1),Re(z2) die Formel gilt, ist klar, denn entweder ist das die Formel für reele ln oder der Winkel ist nicht ein Vielfaches von p/2 und damit ist der arctan unkritisch.
Gruß
Matroid
Gruß
Matroid |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 14. November, 2000 - 14:09: |
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Hi Björn,
Auf das Problem bezüglich des Produktes von
Logarithmen komplexer Zahlen, welches Du kürzlich
dargestellt hast, möchte ich etwas näher eingehen
Ursache der erwähnten Problem ist die
Vieldeutigkeit des Logarithmus im Komplexen.
Weil wir meistens "nur" reelle Analysis betreiben,
ist der Umgang mit Logarithmen und den entsprechenden
Gesetzen eine einfache Angelegenheit.
Bei Berechnungen im Gebiet der Funktionentheorie ist
aber gerade wegen der Vieldeutigkeit besondere Vorsicht
am Platz.
Im folgenden zitiere ich aus einem der Standardwerke
der Funktionentheorie.
Gemeint ist der Band "Vorlesungen über allgemeine
Funktionentheorie und elliptische Funktionen" von
Adolf Hurwitz ( Berlin 1929 / New York 1944 ! )
Im gleichen Band findet man auch eine hervorragende
Darstellung der sog. Geometrischen Funktionentheorie
von Rudolf Courant.
Das Zitat:
"Die Gleichung
log z1 + log z2 = log z1 z2
ist demnach so aufzufassen:
Versteht man unter log z1 und log z2 irgend zwei
bestimmte unter den unendlich vielen Werten, welche
diese Zeichen vorstellen, so ist log z1 + log z2 einer der
unendlich vielen Werte, welche log (z1z2) besitzt.
Für die Hauptwerte (l) des Logarithmus stellt sich, wie leicht
zu sehen ist, die obige Gleichung so dar: Es sei
z1= r1 e ^ (phi1 i) , z2 = r2 e ^ (phi2 i)
(r1>0,r2>0, - Pi < phi1< = Pi , - Pi<phi2< = Pi)
Dann ist:
l(z1) + l(z2) = l(z1z2) + 2 n Pi i ,
wobei n = 0 oder 1 oder -1 ist , je nachdem, welcher von
den Ungleichungen
- Pi < phi1 + phi2 < = Pi ,
Pi < phi1 + phi2 < = 2 Pi ,
- 2Pi < phi1 + phi2 < = - Pi
die Summe der Amplituden phi1 und phi2 von z1 und z2
genügt."
Ende des Zitats.
Zu Deiner Eingangsfrage
Numerisches Beispiel
z1 = .- 2 , z2 = - 3
lnz1 = ln2 + i * Pi , ln z2 =ln 3 + i * Pi
lnz1 + lnz2 = ln 2 + ln3 + i 2Pi = ln 6 + i * 2Pi
ln(z1 z2) = ln 6 !
u.s.w.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
Mathias Möhring (Batja)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 28. November, 2000 - 17:09: |
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Hallo,
ich habe zwei probleme mit komplexen Zahlen:
1. wie löse ich z=(-1+i)hoch 6
und
z hoch 6=-27
2. um argtan herauszubekommen muß ich was tun, mir ist nämlich sogar der Lösungsweg mit taschenrechner unklar. |
Packo
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 28. November, 2000 - 20:21: |
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Wie löse ich 3teWurzel(-8)?
Im Bereich der komplexen Zahlen. |
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