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Supremum & Infimum

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Sandra (Sics)
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Veröffentlicht am Samstag, den 11. November, 2000 - 15:31:   Beitrag drucken

Hallo, suche verzweifelt Hilfe für diese beiden Teilaufgaben:
a) Man zeige, dass für jede nichtleere, nach unten beschränkte Teilmenge A aus R gilt: inf(A) = -sup(-A)

b) Seien A,B aus R nichtleere, nach oben beschränkte Teilmengen und sei die Menge A + B definiert durch A + B = {a+b: a Element A, b Element B}. Man zeige sup(A+B)= supA +supB.

Vielen vielen Dank!
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Peer Dampmann (Peerd)
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Veröffentlicht am Samstag, den 11. November, 2000 - 22:33:   Beitrag drucken

Also zu b)
Zu zeigen ist (i) , daß supA + supB eine obere Schranke von A+B ist und daß (ii) KEINE kleinere obere Schranke existiert.

zu (i):

Sei x aus A+B beliebig.
Dann ist x=a+b mit a aus A und b aus B
Aus a <= sup A und b <= sup B folgt wegen der Monotonie der Addition

----------------------------------------------

Rekapitulation Monotonie Addition

Für alle x,y,z aus K gilt x<y -> x+z<y+z

----------------------------------------------

x=a+b <= sup A + sup B

-> sup A + sup B
ist eine obere Schranke von A+B

Zu (ii):

Sei alpha < (sup A + sup B) beliebig.

Zu zeigen ist, daß alpha KEINE obere Schranke von A+B ist.

Mit epsilon := (sup A + sup B) - alpha ist auch epsilon/2 > 0 .
Also sind sup A - epsilon/2 und sup B - epsilon/2
keine oberen Schranken von A bzw. B.
Demnach gibt es Elemente a aus A und b aus B mit

(sup A - epsilon/2) < a und (sup B - epsilon/2)< b

Wegen der Monotonie der Addition folgt

(supA - epsilon/2)+(supB - epsilon/2)

= (supA + supB)-epsilon < a+b

Aber a+b ist aus A+B

Also ist alpha =(supA + supB)-epsilon keine obere Scharnke von A+B
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Peter
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Veröffentlicht am Samstag, den 11. November, 2000 - 22:39:   Beitrag drucken

a) ich weiss nicht so genau was das -A zu bedeuten hat. etwa; sei x e A dann ist -x e -A oder so was ?
naja wie auch immer..

b) so .. da A, B nicht leer => A + B nicht leer und da A, B nach oben beschränkt (A, B haben jeweils ein sup) ist auch A + B nach oben beschränkt.
also existiert ein sup von A + B.

da jedes element aus A + B über a + b definiert ist mit a element A und b element B, existieren a, b mit sup(A+B)=a + b.

indirekter beweis:
angenommen a ist kein sup von A => es existiert ein element c aus A mit a < c => a + b < c + b =>
sup(A+B) < c + b, wobei c + b element aus A + B
das ist aber ein wiederspruch zu annahme.. => a = sup A

für die menge B analog qed.

weiss nicht so genau ob der beweis dicht ist, denn er ist mir gerade eingefallen.

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