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Beitrag |
    
eberhardtlerin
| | Veröffentlicht am Samstag, den 11. November, 2000 - 15:10: | 
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hallo!
kann mir jemand bei folgenden Aufgaben weiterhelfen?
1. Es sei M eine Menge und S(M):={A|A>M} die Menge aller Teilmengen von M. Man zeige:
a) Es gibt eine Injektion von M nach S(M)
b) Es gibt keine Surjektion f:M->S(M)
2. Es sei M eine nichtleere Menge und y(M)={f:M->M|f ist bijektiv} die Menge aller Bijektionen von M auf sich. Offensichtlich ist y(M) mit der Hintereinanderausführung als Verknüpfung und der Identität idM als neutralem Element eine Gruppe.
a) Man zeige: y(M) ist abelsch, falls die Menge M einelementig oder zweielementig ist.
b)Man zeige: Ist M dreielementig, so ist y(M) nichtabelsch
c)Man folgere aus a) und b): y(M) ist genau dann nichtabelsch, wenn M mindestens drei Elemente besitzt.
VIELEN DANK |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. November, 2000 - 00:42: |
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1a: Nimm die Abbildung f:M->S(M) definiert durch f(a)={a}. Diese ist injektiv.
Die Antwort ist also eigentlich ganz einfach. Überleg' Dir mal, daß das eine Abbildung von M in S(M) ist.
1b: Surjektiv geht nicht, weil die Potenzmenge eine Menge (also S(M)) "mehr" Elemente enthält als M. Den Beweis dafür gibt es bei http://www.zahlreich.de/cgi-bin/hausaufgaben/show.cgi?4244/6633
2b: Du mußt zeigen, daß M abelsch für M einelementig und für M mit zwei Elementen.
Sei also M={a}. Die einzige mögliche Abbildung f ist f(a)=a. Dann ist aber selbstverständlich auch die Menge der bijektiven Abbildungen von M in M abelsch (denn es gibt ja nur eine solche Abbildung).
Wenn nun M={a,b} [also genau zwei Elemente], dann
gibt es zwei mögliche Abbildungen von M in M:
*) f1(a)=a und f1(b)=b, oder
**) f2(a)=b und f2(b)=a
Du kannst Dir leicht überlegen, daß f1of2=f2of1, also ist y(M) abelsch.
2b: Ein Beispiel ist gefragt:
Sei M={a,b,c}
Es gibt folgende Bijektionen:
[a][b][c]
[ab][c]
[a][bc]
[ac][b]
[abc]
[acb]
[Kurzschreibweise (ab)(c) für a->b b->a c->c, Klar?]
[insgesamt 6 Stück = 3! = Anzahl der Permutationen von 3 Elementen]
Betrachte [abc]o[ac][b](a) = a
aber [ac][b]o[abc] (a) = b
Kannst Du das lesen? [abc]o[ac][b](a) heißt: zuerst wird die Abbildung [ac][b] auf a angewendet. a wird auf c abgebildet. Auf c wird dann die Abbildung [abc] angewendet. Dadurch wird c auf a abgebildet.
2c: Was ist nun mit |M|>3? Induktion! Unter den Permutationen einer |M|-elementigen Menge betrachte die Teilmenge , die das (n+1)-te Element x auf sich selbst abbilden. Damit haben wir aber für M*=M\ {x} alle Permutationen von |M|-1 Elementen. Fertig.
Gruß
Matroid |
e.
| | Veröffentlicht am Montag, den 13. November, 2000 - 17:14: |
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VIELEN HERZLICHEN DANK |
Nicht glücklich
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. Januar, 2001 - 17:36: |
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Hallo,
ich brauche Hilfe!!!
Ich habe folgende Aufgabe und diese auch schon z.T. gelöst. Man soll seine Lieblingsziffer nenn. Nennt jemand die Ziffer n, so wird er aufgefordert,
a) 37037037 mit 3n,
b) 15873 mit 7n,
c)12345679 mit 9n zu mulitiplizieren. Erklären Sie bitte das Ergebnis.
a)
37037037 * 3*1 = 111.111.111
37037037 * 3*2 = 222.222.222
37037037 * 3*3 = 333.333.333
37037037 * 3*4 = 444.444.444
37037037 * 3*5 = 555.555.555
.....
37037037 * 3*9 = 999.999.999
b)
15873 * 7*1 = 111.111
15873 * 7*2 = 222.222
15873 * 7*3 = 333.333
...
15873 * 7*9 = 999.999
c)
12345679 * 9*1 = 111.111.111
12345679 * 9*2 = 222.222.222
...
12345679 * 9*9 = 999.999.999
Ich brauche Hilfe bei der Formulierung meiner Antwort. Ich weiß nicht so richtig, was ich da schreiben soll. Das, was ich schreiben würde, ist bestimmt viel zu schlicht geschrieben, nicht mathematisch genug.
Bitte helft mir.
ciao |
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