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Beitrag |
    
andreas seelmann (Germanchild)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 11. November, 2000 - 13:08: | 
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kann mir jemand beweisen wie ich anhand von vektorrechnung beweise, daß sich die schwerelinien in einem dreieck in einem punkt schneiden.
dank schon mal im vorraus... |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Samstag, den 11. November, 2000 - 15:41: |
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Hi Andreas,
Wir beweisen vektoriell den Satz:
In einem Dreieck teilt eine Schwerlinie eine andere
Schwerlinie im Verhältnis 1 : 2
Aus diesem Satz folgt unmittelbar, dass alle drei
Schwerlinien durch einen Punkt ,
den Schwerpunkt S des Dreiecks gehen
In einer Skizze wird das Dreieck ABC gezeichnet
mit Mittelpunkt D der Seite BC und Mittelpunkt E
der Seite AC
Die Geraden (Schwerlinien) BE und AD schneiden sich
in S.
Im folgenden Exposé bedeuten s und skalare Parameter,
a und b aber Vektoren., ebenso stellen Punktverbindungen
wie AB, BC, AS, AD ,BS, BE .. Vektoren dar
(setze bitte die nötigen Pfeile selbst! )
Begin
Sei a = AB , b = BC, AS = s * AD , BS = t * BE
Somit:
AS = s* [a +1/2 b]
BS = t* [ -a + AE ] = t *{-a + ½ (a+b)] =
= t * [ - 1 / 2 a + 1 / 2 b] ,
da AS = AB + BS gilt, kommt :
s * [ a +1 / 2 b ] = a + t * [- 1 / 2 a + 1 / 2 * b] , also
{s + 1/2 t - 1}* a + {1/2 s -1/2 t} * b = o
(rechts steht der Nullvektor!); daraus folgt:
s + ½*t - 1 = 0
½*s - ½*t = 0
Das System hat die Lösungen s = t = 2/3
Wir sind fertig.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath |
andreas seelmann (Germanchild)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 11. November, 2000 - 18:12: |
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hi.
vielen dank für deine erklärung.
scheinst das ja jeden tag zu machen, smile
cu andy |
andreas seelmann (Germanchild)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 11. November, 2000 - 19:06: |
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hi, ich nochmal.
mir ist verständlich was du da gerechnet hast, aber ist damit bewiesen, daß sich die schwerelinien in diesem dreieck schneiden? meine ansatz lautete:
t * AS = s * BS
das ist doch der nachweis dafür das sich AS und BS schneiden.
nun ja, da ich aber keine zahlenwerte für AS und BS habe und sich das dreieck auch nicht mit einheitsvektoren (wie bei einem gleichschenkligen dreieck in die koordinatenachsen gedreht) charaktereseien läßt, kann man die rechnung schlecht realisieren.
du gehst ja davon aus das sich schwerelinien im verhältnis 1:2 gegenseitig teilen und implizierst das alle schwerelinien durch einen punkt gehen. kann man das?
andy |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 13. November, 2000 - 07:55: |
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Hi Andreas,
Der Schnittpunkt S der Schwerlinien sa und sb teilt
jede der Strecken AD und BE im verhältnis 2 : 1 .
Nach der Beweisführung im letzten Beitrag gilt:
AS : SD = 2 : 1 und BS : SE = 2 : 1.
Nun bleibt der dritten Schwerlinie sc durch C nichts
anderes übrig, als ebenfalls durch S zu gehen !
Indirekter Beweis. Nehmen wir an, sc gehe nicht durch S ;
dann schneidet sc die Schwerlinie sa in einem Punkt S ' ,
der von S verschieden ist. Da alle drei Schwerlinie
bezüglich der Teilung einer anderen Schwerlinie
dasselbe Verhalten zeigen (Gleichberechtigung!),
teilt auch sc sa im Verhältnis 2 : 1.
Auf sa gibt es aber nur einen einzigen Punkt S mit dieser
Eigenschaft, d.h. S' fällt mit S zusammen ,
im Widerspruch zur vorigen Annahme.
Damit ist der indirekte Beweis erfolgreich beendigt,
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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