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HILFE - Permutation

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anne Lilie (Lilie)
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Veröffentlicht am Freitag, den 10. November, 2000 - 16:56:   Beitrag drucken

Hilfe :
Brauche dringend Hilfe zu den folgenden Fragen:

a) Wie wird eine Permuation durchgeführt
b) Wie wird eine Verknüpfung durchgeführt
(damit meine ich die Verknüpfung zweier Elemente
z.B. wenn z= (3478) und u= (3456) was wäre
dann z°u?)
c) Wie wird das inverse eine Permuation gelöst
d) Was sind Zyklen (disjunkt) und wie werden sie
durchgeführt?
e) Wie wird eine Tranpositon durchgeführt
f) Was heißt <id>

Danke im voraus...
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Zaph (Zaph)
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Veröffentlicht am Samstag, den 11. November, 2000 - 16:22:   Beitrag drucken

Hallo Anne,
eine Permutation ist eine Funktion einer Menge M auf sich selbst, bei der die Elemente von M lediglich "vertauscht" werden, also eine Bijektion von M auf M.

Unter z = (3478) versteht man i. A. die Abbildung, die 3 auf 4, 4 auf 7, 7 auf 8 und 8 wieder auf 3 abbildet. Alle anderen Werte werden auf sich selbst abgebildet. Also

z(3) = 4
z(4) = 7
z(7) = 8
z(8) = 3
z(x) = x für x aus M \ {3,4,7,8}

M ist dabei die Menge auf der z definiert ist. Üblicherweise ist M = {1,2,3,4,...,n} für ein n. In deinem Beispiel z. B. n = 8.

Solch eine Abbildung z nennt man Zyklus, weil die Elemente 3, 4, 7, 8 zyklisch vertauscht werden. Auch u ist ein Zyklus. Die Länge der Zyklen u und z ist in beiden Fällen 4.

"z°u" heißt "erst u, dann z".

Also
(z°u)(3) = z(u(3)) = z(4) = 7
(z°u)(4) = z(u(4)) = z(5) = 5
(z°u)(5) = z(u(5)) = z(6) = 6
(z°u)(6) = z(u(6)) = z(3) = 4
(z°u)(7) = z(u(7)) = z(7) = 8
(z°u)(8) = z(u(8)) = z(8) = 3
(z°u)(x) = z(u(x)) = z(x) = x für alle anderen x

Die Permutation z°u besteht aus den beiden disjunkten (elementfremden) Zyklen (378) und (456) der Länge 3. Schreibweise: z°u = (378)(456)

Jede Permutation einer endlichen Menge kann immer in disjunkte Zyklen zerlegt werden.

Bei der Inversen einer Permutazion werden die einzelnen disjunkten Zyklen einfach umgedreht. Das Inverse von z°u ist z. B. (873)(654). Das ist natürlich dasselbe wie (387)(465) [gewöhnlich fängt man die Zyklen immer mit dem kleinsten Element an].

Eine Transposition ist ein Zweierzyklus, also z. B. die Permutation (13).

id ist die Permutation, die nichts verändert. Also id(x) = x für alle x. Gelegentlich wird id auch als Einerzyklus (1) geschrieben.

Ich hoffe, du bist jetzt etwas schlauer :-)

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