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Beitrag |
    
Daniela
| | Veröffentlicht am Freitag, den 10. November, 2000 - 13:05: | 
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Hi Leute,
wie geht diese Aufgabe?
Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion, dass für n>=0 die folgende Aussage mit a Element der ganzen Zahlen gilt:
n
Summenzeichen (a+k) = ( a+n+1 )
k=0 ( k ) ( n )
Bemerkung: p, q Element ganzer Zahlen 0<=q<=p:
(p) = p*(p-1)*...*(p-q+1)
(q) ___________________
1*2*...*q
(
( bedeutet eine große Klammer |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 10. November, 2000 - 17:18: |
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Hallo Daniela, leider ist alles etwas verrutscht, aber ich weiß was Du meinst:
Sn k=0 (a+kk) = (a+n+1n)
Stimmt's?
Beweis mit Induktion:
n=0: (a+00) = (a+0+10). Stimmt, denn beide Binomialkoeffizienten sind gleich 1.
Induktionsschritt:
Was ist zu zeigen:
Unter der Voraussetzung, daß die Beziehung für n schon beweisen ist, muß man zeigen:
Sn+1 k=0 (a+kk)
= (a+(n+1)+1n+1)
Also immer da wo n stand, muß jetzt n+1 stehen.
Zum Beweis:
Sn+1 k=0 (a+kk)
= Sn k=0 (a+kk) + (a+n+1n+1)
= (a+n+1n) + (a+n+1n+1)
= (a+(n+1)+1n+1)
Fertig.
Dabei habe ich die Summe mit n+1 Summanden erstmal aufgeteilt in n Summanden und einen. Für die Summe bis n kann man die Induktionsvoraussetzung anwenden.
Schließlich gibt es noch eine Beziehung zwischen Binomialkoeffizienten, die es sich zu kennen lohnt:
(nk-1)+(nk) = (n+1k)
[Diese Formel kann man auch wieder mit vollst. Induktion beweisen.]
Damit habe ich dann zusammengefaßt und habe nun das richtige Ergebnis.
Gruß
Matroid |
Daniela
| | Veröffentlicht am Samstag, den 11. November, 2000 - 14:23: |
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Danke dir.
Gruß,
Dani. |
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