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evi (Frogger)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. November, 2000 - 20:17: | 
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Hallo,
ich bin gerade am verzweifeln mit den dämlichen n über k Gleichungen...
Zeige, daß für alle k, n e N mit 1<=k<=n gilt:
(n über k)*1/(n hoch k) <= 1/k! <= 1/(k hoch (k-1)
Für eine ausführliche Darstellung mit dem Rumgerechne mit den Fakultäten und den "übern"
wär ich echt dankbar
frogger |
anonym
| | Veröffentlicht am Montag, den 13. November, 2000 - 15:47: |
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lösungshinweis:
1. ungleichung:
(n über k) = n! / ((n-k)! * k!)
damit können wir k! auf beiden seiten "kürzen"
zu zeigen bleibt:
(*) n!/((n-k)!*(n hoch k)) <= 1.
n!/(n-k)! = n * (n-1) * ...* (n-k+1)
das sind insgesamt k faktoren
(n hoch k) = n * n * ...* n (k- mal)
also ist (*) äquivalent zu:
n/n * (n-1)/n * (n-2)/n * ... *(n-k+1)/n
diese faktoren sind nun alle kleiner gleich 1,
also ist die behauptung richtig.
die 2. ungleichung gilt i.a. nicht:
setze für k = 3, so gilt:
1/3! = 1/6 und 1/(3 hoch 2) = 1/9
wobei 1/6 >= 1/9 gilt.
gruss |
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