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Beweis für Binomischen Lehrsatz

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Kai Seele (Chupacabra)
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. November, 2000 - 19:49:   Beitrag drucken

Mathe würde soviel spaß machen, wenn man nicht immer alles beweisen müßte.
Kann mir jemand den Beweis für den Binomischen Lehrsatz mitteilen ?
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Matroid (Matroid)
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Veröffentlicht am Freitag, den 10. November, 2000 - 18:51:   Beitrag drucken

Hi Kai,
zuerst habe ich mal im Archiv gesucht, aber nicht das richtige gefunden.
Dann man zur Sache:
Beweise:
(a+b)n = Sn i=0 ni) aibn-i
Vollständige Induktion.
n=0 => 1 = 1 stimmt!
Induktionsschritt:
(a+b)n+1 = [ Sn i=0 (ni) aibn-i ]*(a+b)
unter Verwendung der Induktionsvoraussetung (für n).
= a*Sn i=0 (ni) aibn-i + b* Sn i=0 (ni) aibn-i
= Sn i=0 (ni) ai+1bn-i + Sn i=0 (ni) aibn-i+1
= an+1 + Sn-1 i=0 n!/(i!*(n-i)!) ai+1bn-i + bn+1 + Sn i=1 n!/(i!*(n-i)!) aibn-i+1

Was passiert denn hier eigentlich.
Um besser durchzublicken, schreibe ich die Formeln für n=3:
(a+b)3 = [ a3 + 3a2b1 + 3a1b2 + b3]*(a+b)
= a *[ a3 + 3a2b1 + 3a1b2 + b3] + b*[ a3 + 3a3b1 + 3a1b2 + b3]
= a4 + 3a3b1 + 3a2b2 + a1b3 + a3a1 + 3a2b2 + 3a1b3 + b4
Die gemischten Potenzen kommen je zweimal vor, die Potenzen "hoch 4" je einmal. Ich ordne um:
= a4 + (3+1)*a3b1 + (3+3)*a2b2 + (1+3)*a1b3 + b4
Aha, der Binomialkoeffizient vor a3b1 ist die Summe von zwei anderen Binomialkoeffizienten. Und zwar (nk-1)+(nk) und das ist (n+1k).
Und da haben wir die Formel für n=4.
Gruß
Matroid
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Kai Seele (Chupacabra)
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Veröffentlicht am Freitag, den 10. November, 2000 - 23:12:   Beitrag drucken

danke Dir daß Du das so ausführlich erklärt hast,
werde mir das alles mal ausdrucken und in Ruhe versuchen es zu verstehen. Bis dann.

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