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Beitrag |
    
Rene
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. November, 2000 - 16:55: | 
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Hallo, brauche folgenden Beweis:
Sind a,b in Z und ist b > 0, so gibt es eindeutig bestimmte Zahlen q, r in Z mit: a = b*q + r und 0 <= r < b.
Dabei sollte verwendet werden, dass es in jeder Menge ein kleinstes Element gibt.
Fuer alle Tips herzlichen Dank. |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. November, 2000 - 18:27: |
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Existenz:
1. Fall: a > 0.
Sei x die kleinste natürliche Zahl, sodass bx > a. (Wieso gibt es solch ein x??)
Setze q = x-1, r = a - bq und zeige, dass 0 <= r < b.
2. Fall: a <= 0.
Führe dies auf Fall 1 zurück. |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. November, 2000 - 18:31: |
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Eindeutigkeit:
Sei bq + r = bs + t mit 0 <= r,t < b.
Dann
b(q - s) = t - r.
Da -b < t - r < b und t - r ein Vielfaches von b, folgt t - r = 0 und damit q - s = 0. |
Rene
| | Veröffentlicht am Freitag, den 10. November, 2000 - 15:56: |
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Hey, vielen Dank fuer die Tips. Aber wie Du schon selbst schreibst: Wieso kann ich annehmen, dass es eine kleinste ganze Zahl gibt?
Wenn ich eine Teilmenge von Z betrachte, dann habe ich zwar ein kleinstes Element, allerdings fehlt mir spaeter im Beweis x-1.
Und was ich auch nicht ganz verstehe: Warum darf ich einfach annehmen, dass b*x>a?
?? |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 10. November, 2000 - 16:12: |
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Hallo Rene,
wenn bx <= a für jede natürliche Zahlen gelten würde, dann wären die natürlichen Zahlen nach oben durch a/b beschränkt. Also gibt es solch ein x.
Sei nun A die Menge aller natürlichen Zahlen x, für die bx > a. A besitzt ein kleinstes Element. Und das nennen wir x.
(Dass jede Teilmenge der natürlichen Zahlen ein kleinstes Element besitzt, nennt man "Wohlordnungseigenschaft" der natürlichen Zahlen. Das kann mit vollständiger Induktion gezeigt werden.)
Was meinst du mit "allerdings fehlt mir spaeter im Beweis x-1"? |
Rene
| | Veröffentlicht am Samstag, den 11. November, 2000 - 10:13: |
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Sorry, aber verstehe ich immer noch nicht.
Wenn b*x > a gilt, dann ist Die Menge der nat. nach unten hin beschraenkt; und wenn ich nur das Intervall betrachte [x; unendlich, dann ist in dieser Menge das q =x-1 nicht mehr enthalten, weil es doch das nach Def. gar nicht geben darf.
Ausserdem haette ich dann den Beweis nur fuer eine Teilmenge von Z gefuehrt. Dann fehlt mir ja noch der andere Teil und wieso gilt das ganze dann noch fuer die Gesamtmenge Z, da habe ich keine Grenzen?
Fragen ueber Fragen ...
Jedenfalls Danke, dass Du Dir die Zeit dafuer nimmst. |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 11. November, 2000 - 10:37: |
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Hallo Rene, beachte bitte den feinen Unterschied zwischen "für jedes x" und "es gibt ein x".
Wenn bx <= a für jede natürliche Zahl x gelten würde, dann wäre IN nach oben beschränkt.
Also gibt es ein x, sodass bx > a.
Und wenn x die kleinste derartige natürliche Zahl ist, dann gilt für q = x-1, dass bq <= a. |
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