| Autor |
Beitrag |
    
klemens
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. November, 2000 - 15:22: | 
|
Bestimmen Sie den Definitionsbereich folgender Ungleichung für reele Zahlen x, beschreiben sie ihre Lösungsmenge in Intervallschreibweise.
|x+3| < |x-1| + |x-2| |
Markus
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. November, 2000 - 17:22: |
|
Vielleicht das hier : (unendl. , 0) , (6 ,unendl.)
WM_ichhoffedashilft Markus |
Peter
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. November, 2000 - 18:00: |
|
die element 0 und 6 sollten allerdings nicht zum def. bereich zählen..
... [unendlich,0[ ; ]6,unendlich] |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Montag, den 13. November, 2000 - 20:45: |
|
hallo Peter,
ich bin mir auch nicht so furchtbar sicher, aber ich glaube, bei deinem Vorschlag stimmt auch was nicht, und deswegen sollte das nochmal besprochen werden:
erlaube bitte eine kritische Frage:
meinst du nicht, dass Markus das offene Intervall gemeint hat?
für das geschlossene Intervall kenne ich auch nur diese Schreibweise (also einschl. x und y): [x,y]
Es gibt für das Offene doch zwei Schreibweisen:
(x,y) º ]x,y[
hier sind x und y nicht mit drin, und es war doch schon beabsichtigt, dass "unendlich" nicht mit in der Menge enthalten sein soll, oder?
Also mit der eckige-Klammer-Schreibweise dann
IL = {]-¥;0[ , ]6;¥ [}
Nebenbei: das war doch die Lösungsmenge, Definitionsbereich ist doch IR, oder nicht?
Gruß, Bernd |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Montag, den 13. November, 2000 - 21:37: |
|
Hallo Klemens,
abgesehen von "intensivem Hinschauen" gibt es auch noch das folgende Lösungsverfahren:
Um die Ungleichung exakt lösen zu können, muß man die Betragsstriche loswerden.
Um diese loswerden zu können, muß man den Definitionsbereich der x in Intervalle zerlegen, in denen die Ausdrücke in den Betragsstrichen jeweils nicht das Vorzeichen wechseln.
Vorzeichenwechsel in den Betragsstrichen gibt es bei:
x=-3, x=1, x=2
Wir müssen also die Ungleichung in folgenden Intervallen des Definitionsbereichs gesondert betrachen:
I1=]-¥,-3]
I2=]-3,1]
I3=]1,2]
I4=]2,¥]
Für xeI1=]-¥,-3] ist
x+3 kleiner gleich null, also ist |x+3|=-3-x
x-1 negativ, also ist |x-1|=1-x
x-2 negativ, also ist |x-2|=2-x
Die Ungleichung lautet dann ohne Betragsstriche;
-3-x<1-x + 2-x
<=> -3-x<3-2x
<=> -6<-x
<=> x<6
Also ist für xeI1=]-¥,-3] die Lösungsmenge ]-¥,-3], denn das sind die xe]-¥,-3], für die x<6 gilt.
Für xeI2=]-3,1] ist
x+3 positiv, also ist |x+3|=x+3
x-1 kleiner gleich null, also ist |x-1|=1-x
x-2 negativ, also ist |x-2|=2-x
Die Ungleichung lautet dann ohne Betragsstriche;
x+3<1-x + 2-x
<=> x+3<3-2x
<=> 3x<0
Also ist für xeI2=]-3,1] die Lösungsmenge ]0,1].
Für xeI3=]1,2] ist
x+3 positiv, also ist |x+3|=x+3
x-1 positiv, also ist |x-1|=x-1
x-2 kleiner gleich null, also ist |x-2|=2-x
Die Ungleichung lautet dann ohne Betragsstriche;
x+3<x-1 + 2-x
<=> x+3<1
<=> x<-2
Also ist für xeI3=]1,2] die Lösungsmenge leer, denn kein xe]1,2] ist <-2.
Für xeI4=]2,¥[ ist
x+3 positiv, also ist |x+3|=x+3
x-1 positiv, also ist |x-1|=x-1
x-2 positv, also ist |x-2|=x-2
Die Ungleichung lautet dann ohne Betragsstriche;
x+3<x-1 +x-2
<=> x+3<2x-3
<=> 6<x
Also ist für xeI4=]2,¥] die Lösungsmenge gleich ]6,}ch{inf}[.
Gruß
Matroid
Übrigens die Klammer bei "unendlich" macht man immer "offen". |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Montag, den 13. November, 2000 - 22:32: |
|
Hi Matroid,
danke für die Bestätigung, dass ¥ eine offene Klammer bekommt.
Ich habe es noch nicht nachgerechnet, leider ist die Klammer bei deinem I4 ganz oben und ganz unten im Beitrag somit falschherum geraten. Ist schon so'n Ding mit der Formatierung...
Aber du hast es ja unten nochmal betont.
Gruß, Bernd |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Montag, den 13. November, 2000 - 22:37: |
|
Ja, Bernd,
manchmal sehe ich den Baum vor lauter Wald nicht mehr. Es muß immer heißen ]2,¥[ |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Montag, den 13. November, 2000 - 22:39: |
|
Und anstatt ]6,}ch{inf}[ muß es ]6,¥[ heißen. |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 14. November, 2000 - 22:57: |
|
Hallo Matroid,
ja, ja, dieser Formatierungs-Zeichensalat, den man vorher im Eingabefenster hat... (vereinfachbar? siehe bitte mal hier)
Was ich fragen wollte:
Kann es sein, dass es heißen muss:
Also ist für xÎI2=]-3;1] die Lösungsmenge ]-3;0] ?
Und noch was: du sprichst einmal von Definitionsbereich und einmal von Lösungsmenge.
Gibt es bei dieser Aufgabe einen Unterschied zwischen den Begriffen? (Ich habe zwar gestern auch von Definitionsbereich gesprochen, aber ich glaube, es war falsch, zu sagen, D ist ganz IR, oder? - D muss man doch nur angeben, wenn eine Funktion - in diesem Fall Betragsfunktion - erklärt wird, oder?)
und noch eine kleine Frage: Definitionsbereich <-- Unterschied --> Definitionsmenge ?
Gruß, Bernd |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. November, 2000 - 18:02: |
|
Richtig muß es heissen:
Also ist für xeI2=]-3,1] die Lösungsmenge ]-3,0[.
Zum Definitonsbereich:
Ich habe R in 4 disjunkte Intervalle zerlegt und dann die Ungleichung in jedem dieser Intervalle betrachtet. Für x aus jedem Intervall gibt es eine zur ursprünglichen Ungleichung äquvalente Darstellung der Ungleichung, in der keine Betragsstriche vorkommen.
Die jeweilige Umformung der Ungleichung gilt immer nur für x aus dem jeweiligen Intervall. Für mich ist das dann der Definitionsbereich. Du vermißt nun eine Funktion.
Ich definiere f:R->{true,false} durch f(x) =
-3-x<1-x + 2-x für xeI1
x+3<1-x + 2-x für xeI2
x+3<x-1 + 2-x für xeI3
x+3<x-1 + x-2 für xeI4
Der Funktionswert ist entweder "true" oder "false". Er ist genau dann "true", wenn die jeweilige Aussage für x wahr ist.
Die Lösungsmenge für f(x) mit xeIi ist immer eine Teilmenge von xeIi.
Es macht Sinn von einer Definitionsmenge (oder Definitionsbereich, da sehe ich keinen Unterschied) zu sprechen, weil die Ungleichungen ohne Betragsstriche nur für xeIi betrachtet werden dürfen (obwohl man auch andere x einsetzen darf, formal jedenfalls).
Man hätte alles auch anders nennen können, z.B. "Betrachtungsbereich" oder "Gültigkeitsbereich der Termumformung". Ich sehe keinen Grund, warum man hier das Wort "Definitionsbereich" vermeiden sollte.
In der ursprünglichen Aufgabe von klemens kommen auch die Worte Definitionsbereich und Lösungsmenge vor. Ich weiß aber nicht, wie Definitionsbereich dort gemeint ist. Die Ungleichung ist für mich eben für alle xeR (irgendwie) definiert, aber nur für manche xeR richtig. Insgesamt ist der Definitionsbereich der Ungleichung ganz R.
Wenn in der Ungleichung z.B. |1 - 1/x| gestanden hätte, dann wäre die Ungleichung für x=1 nicht definiert gewesen.
Gruß
Matroid |
|
