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Beitrag |
    
Tilo
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. November, 2000 - 13:16: | 
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Und zwar folgende Aussagen:
1)Für jede näturliche Zahl n = 18,19,20,... gilt:
Man kann n als eine Summe schreiben, welche nur die Summanden 7 und 4 erhält(dabei müssen nicht immer beide vorkommen)
2) Für jede natürliche Zahl n gilt:
Durch n Geraden kann man die Ebene in höchstens
1 + 0.5 * n * (n+1) Gebiete teilen.
Wäre über jede Hilfe erfreut!
Tilo |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. November, 2000 - 22:51: |
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Für 2) findest Du etwas unter http://www.zahlreich.de/cgi-bin/hausaufgaben/show.cgi?4244/6040
Gruß
Matroid |
Tilo
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. November, 2000 - 08:31: |
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Und noch eine Aufgabe an der ich hängen bleibe.
47 sei ein Teiler von 7^(2n) - 2^n
Der Induktionsanfang ist klar
n=1 => 7^2 - 2^1 = 47; 47 ist Teiler von 47
und der Induktionsschritt auch:
n auf n+1:
7^(2n+2) - 2^(n+1)
so aber jetzt hänge ich.
Wie kann ich diesen Ausdruck vereinfachen, so daß eine Aussage stehen bleibt, von der auch 47 Teiler ist.
Tilo |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. November, 2000 - 17:34: |
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Ganz einfach:
72n - 2n = [72]n - 2n.
Induktionsschritt:
[72]n+1 - 2n+1
= [72]n*[72] - 2n+1
Ergänze in der Klammer -2 und hinter der Klammer
mache das durch +2*[72]n wieder gut.
= [72]n*[72-2] +2*[72]n - 2*2n
= [72]n*[72-2] + 2*[72]n - 2*2n
= [72]n*[72-2] + 2*( [72]n - 2n )
Jeder der beiden Summanden enthält also einen Faktor, der nach Induktionsvoraussetzung durch 47 teilbar ist. Folglich ist der gesamte Ausdruck durch 47 teilbar.
Gruß
Matroid |
Tilo
| | Veröffentlicht am Freitag, den 10. November, 2000 - 08:38: |
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Danke Schön
Wenn du jetzt noch die erste lösen kannst, dann weiß ich einen, der vom Weihnachtsmann richtig groß beschenkt wird, weil er soviel gutes getan hat :-))
Nein nochmal vielen Dank, werde auf dich für zukünftige Probleme zurückkommen.
Tilo |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 10. November, 2000 - 13:34: |
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Wie kann man den Induktionsschluß nun machen?
Die (n+1)-te Gerade kann höchstens n Geraden schneiden. Immer wenn die neue Gerade eine vorhandene Gerade schneidet, dann tritt sie in ein neues Gebiet der Ebene ein. Die Anzahl der Gebiete, die von der neuen Geraden geteilt werden ist (höchstens) n+1, denn das erste Gebiet wird ja schon geteilt, bevor die neue Gerade die erste vorhandene Gerade schneidet. Und "höchstens" deshalb, weil ja vorkommen kann, daß zwei (oder mehr) Geraden zugleich geschnitten werden.
Die Anzahl der neuen Gebiete ist also für n+1 höchstens = (n² + n + 2) / 2 + ( n + 1 ).
Man kann dann zeigen, daß dies gleich ((n+1)² + (n+1) + 2) / 2 ist.
Gruß
Matroid |
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