| Autor |
Beitrag |
    
Antje
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 07. November, 2000 - 15:37: | 
|
(2[hoch m]-1)ist eine mersennsche Primzahl
n vollkommen,wenn Summe all ihrer positiven Teiler das Doppelte der Zahl n ist.
Z.z.ist n eine vollk.Zahl,so ist n von der Form n=2[im Exponent:m-1]*(2[im Exponent:m]-1)
Ich soll außerdem die 1. drei geraden vollk.Zahlen angeben.
Bitte um Hilfe |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 07. November, 2000 - 21:46: |
|
In http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/messages/4244/6861.html?973585551 habe ich schon mal gezeigt, daß gilt:
Ist p eine mersennsche Primzahl, dann ist m eine Primzahl.
Ich gehe bei Deiner Aufgabe mal davon aus, daß das m in der Behauptung, das m einer mersennschen Primzahl sein soll, oder?
Wenn die Behauptung gezeigt ist, dann kann man sie für die Suche nach vollkommenen Zahlen benutzen. Für eine vollkommene Zahl ist es nämlich notwendig, daß die von der beschriebenen Form ist, mit einer mersennschen Primzahl 2m-1.
Ich schreibe mal einige mersennsche Primzahlen auf:
m=2 3
m=3 7
m=5 31
m=7 127
m=11 2047 = 23*89
m=13 8191
(daß ich nur Primzahlen m nehme, hat seinen Grund in dem Beweis, auf den ich oben hingewiesen habe)
Mit den m, bei denen 2m-1 eine Primzahl ist, rechne ich dann 2m-1 * (2m-1) aus
m=2 n=6
m=3 n=28
m=5 n=496
m=7 n=8128
m=13 n=33550336
Dann prüfe ich das Kriterium für vollkommene Zahl, nämlich Sk i=1 tk = 2n, dabei sind ti die verschiedenen positiven Teiler von n.
Bei 6: Teiler sind 1,2,3,6. Summe ist 12. ok
Bei 28: Teiler sind 1,2,4,7,14,28, Summe ist 56. ok.
Bei 496=2*2*2*2*31: Teiler sind 1,2,4,8,16,31,62,124,248,496 = 2*496. ok
Das sind die drei kleinsten vollkommenen Zahlen.
So, den Beweis der Behauptung habe ich zwar jetzt nicht gegeben, aber vielleicht kannst Du ja mit dem oben genannten Beweis eine Idee bekommen.
Ich kann ja morgen noch mal reinschauen.
Gruß
Matroid |
|
