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Anton
| | Veröffentlicht am Montag, den 06. November, 2000 - 23:04: | 
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Wie beweist man, daß die 3 te Wurzel aus 5 irrational ist?????????????????????????????
Dringend!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! |
Thomas
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 07. November, 2000 - 21:52: |
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ich habe ein ähnliches Problem !
Existiert eine positive rationale Zahl x , die eine Lösung der Gleichung x²=wurzel(15)
ist ?
Natürlich existiert diese Zahl nicht !
Aber ich soll das beweisen (indirekter Beweis)
wie geht das ? |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. November, 2000 - 17:27: |
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Hallo Anton und Thomas, ihr solltet euch nicht wundern, dass zwei Tage lang keine Antwort kommt, wenn ihr das unter "Universitätsniveau" eintragt. Das kann ja sogar ich noch...
Beweis: durch Widerspruch
dazu nimm das Gegenteil der zu beweisenden Behauptung an und führe es auf einen Widerspruch
Hier: zu beweisen: 3Ö5 Î IR \ Q
also
Annahme:
3Ö5 Î Q, mit p,q Î Z, p und q haben keinen gemeinsamen Teiler...
(Anmerkung zu p und q haben keinen gemeinsamen Teiler : dies anzunehmen ist immer möglich, ohne dass sich irgendeine Einschränkung für die Zahl p/q ergibt, das heißt, durch teilerfremde ganze Zahlen p und q ist jede gewünschte rationale Zahl p/q darstellbar.)
...lässt sich 3Ö5 dann schreiben als 3Ö5 = p/q | beide Seiten mit 3 potenzieren
5 = p³/q³ | *q³
5q³ = p³
=> da p und q ganze Zahlen sind, muss in p³ der Faktor 5 stecken. Wenn der Faktor 5 in p³ steckt, muss er in jedem Faktor von p³ = p*p*p stecken, also auch in p selber.
=> p muss durch 5 teilbar sein, lässt sich also schreiben als Produkt aus 5 mit einer ganzen Zahl r, p=5*r => p³ = 125*r³
=> 5q³=125r³| :5
=> q³ = 25r³
=> q³ muss durch 25=5*5 teilbar sein, also muss q³ auch durch 5 teilbar sein
=> (mit demselben Argument wie oben: Wenn der Faktor 5 in p³ steckt, muss er in jedem Faktor von p³ = p*p*p stecken, also auch in p selber => p muss durch 5 teilbar sein, lässt sich also schreiben als Produkt aus 5 mit einer ganzen Zahl r,...) ersetze nur p durch q und r durch s:
Wenn der Faktor 5 in q³ steckt, muss er in jedem Faktor von q³ = q*q*q stecken, also auch in q selber => q muss durch 5 teilbar sein, lässt sich also schreiben als Produkt aus 5 mit einer ganzen Zahl s, q=5*s
Wenn aber p=5*r war und jetzt auch noch q=5*s ist, sind sowohl p und q durch 5 teilbar, dies ist ein Widerspruch zu dem Teil der Annahme, der besagte, p und q haben keinen gemeinsamen Teiler
Also ist schon die Annahme falsch, und wenn 3Ö5 Î Q falsch ist, dann muss das Gegenteil richtig sein:
3Ö5 Î IR \ Q
===========================================================
Zu Thomas, jetzt ohne Textbemerkungen:
Ann. es ex. pÎIN, qÎIN mit x=p/q, so dass (p/q)²=Ö15 und p, q teilerfremd
durch quadrieren folgt dann p4/q4 = 15
=> p4= 15q4 (*)
=> 15|p4 (15 teilt p4)
=> 15|p
=> ex. rÎZ, so dass p=15*r
=> p4=154r4, dies in (*) eingesetzt
=> 154r4=15q4 | :15
=> 153r4=q4
=> 15|q4
=> 15|q
15|p und 15|q ist ein Widerspruch zu Ann, dass p, q teilerfremd
=> Ann. ist falsch
=> es ex. kein x mit Eig., dass x positive rationale Zahl |
Peter
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. November, 2000 - 21:20: |
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hi
also die frage ist wohl berechtigt unter universitäts niveau gestellt worden .. denn eines lässt du aus bernd und das ist ein entscheidener teil.
und zwar:
1. nicht so wichtig aber auch zu sagen, dass in dem fall das p,q positiv sind und somit element der menge N
2. und das ist sehr wichtig.
jedes elemt der menge N kann durch prizahlfaktorisierung EINEINDEUTIG dargestellt werden kann.
wenn du diese sachen weglässt, dann ist dein beweiss einleutend und plausibel aber nicht dicht.
viele lehrer lassen das weg oder manchmal wissen sie es auch nicht und das ist schon komisch.
und ich glaube nicht, dass das ein einfacher beweis ist, denn er wurde erst im 1900 jahrhundert gemacht.. (konnten die griechen schon vor 2000 jahren) |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. November, 2000 - 23:29: |
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hi Peter,
damit ich das jetzt richtig lerne, bitte ich dich herzlich, den Beweis nochmal so hinzuschreiben, dass er richtig (und dicht) ist. Mit dem Begriff "dicht" kann ich nichts anfangen, bitte schreib eine Definition auf.
(Das unter 1. mit p,q Î Z gebe ich zu, ich hätte p und q besser auf IN beschränken sollen, hätte auch noch gereicht)
Das mit 2. verstehe ich nicht, schreib bitte ein Gegenbeispiel (am besten mit den Zahlen der Fragestellung) auf, bei dem klar wird, warum meine obige Beweisversion versagt, wenn ich nicht erwähne, dass eine Primfaktorisierung eineindeutig ist.
Falls bei meinem obigen Vorschlag Definitionen vermisst werden, mir fällt nur die für "Teiler" auf. Wie ich die Definition von Teiler sehe:
Eine Zahl q(ÎIN)ist Teiler einer Zahl p(ÎIN), wenn die Division p:q ein Ergebnis liefert mit p/q ÎIN. Ebenso ist dann die Zahl p/q ein Teiler von p.
...und zuletzt noch: nicht so wichtig, aber für mich unverständlich, weil widersprüchlich:
...er wurde erst im 1900 jahrhundert gemacht.. (konnten die griechen schon vor 2000 jahren)
Es grüßt
Bernd
P.S.: könntest du bitte den Beitrag vom 7. Nov von 1:11 bzw. Ende des von 19:18 Uhr nochmal ansehen, um mir zu sagen, warum das mit r=0 nicht eingeschlossen ist? |
Peter
| | Veröffentlicht am Freitag, den 10. November, 2000 - 10:05: |
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hallo bernd ..
freut mich. dass du genau wissen willst was ich mit meinen aussagen "sagen will".
es ist wichtig, dass man in mathe grundlegende sachen klarstellt und das sollte auch in der schule bahndelt werden, denn sonst kann es schnell passieren das ein beweis eine lücke hat.
man sagt, der beweis ist nicht dicht.
eine lück in einem beweis kann dazu genutzt werden um eine flasche aussage als wahr darzustellen. in den meisten fällen ist die aussage war und der beweis zeigt dies auch auf dem ersten blick, aber trozdem kann der beweis flasch sein oder der weg ist richtig und man hat einen fall ausgelassen oder einige von vorherein gezeigte sätze verwendet.
ich fange mit dem am schnellsten zu klärenden frage an ..
wenn man eine math aussage mit null mutlipliziert ist das kein fehler, im gegenteil es vollkommen mathematisch korrekt.
die aussage ist dann auf jedenfall wahr.
nur dann zu behaupten, weil die aussage wahr ist, dass dann die vorherige aussage (vor der multiplikation mit null) wahr ist, ist ein fehler.
die multplikation mit null ist nicht aquivalent.
das weisst du garantiert, denn das hast du in dem forum schon geschrieben.
deine kopierte rechnung:
r<s | + rs
r+rs < s+rs <=== (r kann null sein! (laut anfagngsbedingung))
r(1+s) < s(1+r) | *1/[(1+s)(1+r)] !!!! durch null
dividiert und dass ist nicht erlaubt!
r/(1+r) < s/(1+s)
falls r = 0, dann hast du in dem oben angemerkten mit null multipliziert. dies umformung ist nicht äquivalent. das würde schon ausreich um aus der untern aussage nicht mehr auf die obere schliesen zu können. naja und die divi. durch null ist wohl selbst erklärend.
deshalb muss der fall r = 0 und 0 < s extra gezeigt werden
dieser fall ist zwar trivial, aber man sollte in zeigen.
die Griechen:
"...er wurde erst im 1900 jahrhundert gemacht.. (konnten die griechen schon vor 2000 jahren)"
die griechen haben dass "zeichnerisch" gezeigt, wenn man vorher einige sätze zur gemoetrie aufstell, dann geht das relativ einfach.
allerdings begnügt sich die heutige mathematik nicht damit etwas "nur" "zeichnerisch zu zeigen, sonnder es sollte alles in einer mathmatischen notation gezeigt werden. so wie wir es halt kennen.
dies art der beweisführung bzw. den mathematischen apperat erlaubet es auch ein wenig mehr aus der sicht der menge Q etwas über die menge der algebraischen zahlen ( die menge A) zu sagen.
die griechen haben mathe mit anderen "einfachen" mitteln betrieben und sind sehr weit gekommen, allerdings gab es ein paar probleme, die mit ihren mitteln nicht zu beweltigen waren.
unsere mathematik ist aus anderen bedürfnissen enstanden, so das der math. apparat anderes aufgebaut ist. wir können z.b. gernzwerte bestimmen und aussagen über grenzwerte von folgen manchen ohne den grenzwert zu kennen (letzters ist dem gehirnschmalz von cauchy zu verdanken).
den aussführlichen beweis zu der irrationalen wurzel würde ich dir gerne per mail schicke, denn ich glaube es wird ein wenig komplex und auch die notation kann ich hier nicht machen ( ich beherrsche leider nicht die math. notation in diesem oder anderen foren)
das wäre etwas, was du mir zeigen kannst, wenn du es willst und beherrscht.
kannst mir per mail antworten!
ciao bernd |
Peter (Amendeus)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 10. November, 2000 - 10:50: |
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hallohalli
peinlich .. es wird natürlich nicht durch null geteilt..
das sollte ich besser zurück nehmen, aber der rest ist, nach meiner meinung, ist wahr.
ciao |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Freitag, den 10. November, 2000 - 17:48: |
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Hallo Peter,
auf http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/board-formatting.html#special findest du das wichtigste, was du zur Formatierung spezieller Zeichen brauchst, das andere ergibt sich dann schon.
Du kannst den Beweis entweder als Bild im .gif (ich glaube, auch im .jpg)-Format (klappt vielleicht nicht beim ersten Mal, öfter versuchen) oder als Datei (gängiges Textformat) hinaufladen, und zwar mit dem Befehl
\image{Beweis}
oder
\attach{Beweis}
wobei du nach dem Drücken des Buttons "Diese Nachricht senden" dazu aufgefordert wirst, den Ursprung der (Bild-)Datei anzugeben.
Als Bild müsste es bis 100kByte problemlos klappen. |
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