Themenbereiche Themenbereiche Profile Hilfe/Anleitungen Help    
Recent Posts Last 1|3|7 Days Suche Suche Tree Tree View  

Richtig oder falsch

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Universitäts-Niveau » Algebra » Richtig oder falsch « Zurück Vor »

Autor Beitrag
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Papst
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Veröffentlicht am Montag, den 06. November, 2000 - 18:39:   Beitrag drucken

Hallo!

Kann mir jemand folgende Aussage beweisen ?

Hat ein Polynom f aus Q[x] keine Nullstelle, dann ist es irreduzibel.

Danke.....
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Matroid (Matroid)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Veröffentlicht am Dienstag, den 07. November, 2000 - 12:03:   Beitrag drucken

Hi Papst,
wie definierst Du irreduzibel?
Ich erinnere mich an meine Algebra-Vorlesung.
Da ging es hoch her mit Begriffen. Da war von Hauptidealen und Zerfällungskörpern die Rede.
Und wenn man das ganze Begriffsgebirge hatte, dann war der Beweis ganz einfach.
Sorry
Matroid
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Papst
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Veröffentlicht am Dienstag, den 07. November, 2000 - 22:57:   Beitrag drucken

Hallo Matroid,

hm, die einzige Definition, die mir bekannt lautet so:
"Eine Matrix ist reduzibel, wenn sie sich durch Koordinatentransformation in Block-Diagonal-Form bringen läßt, sonst ist sie irreduzibel".

Nun weiß ich aber immer noch nicht mehr, zumal ich auch nicht weiß, im welchen Zusammenhang eine Matrix und ein Polynom stehen.

Ich hoffe dennoch, daß Du mir weiterhelfen kannst.

Papst
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Matroid (Matroid)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Veröffentlicht am Dienstag, den 07. November, 2000 - 23:02:   Beitrag drucken

Aber um Matrizen geht's doch gar nicht.
Muß doch irgendwo in Deiner Vorlesung noch was zu finden sein.
Wie heißt denn die Vorlesung, zu der die Übung gehört?
Gruß
Matroid
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Papst
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. November, 2000 - 10:01:   Beitrag drucken

Die Vorlesung heißt "Algebra I". Ich suche schon die ganze Zeit nach einer Defintion, die ansatzweise mit Polynomen zu tun, aber irgendwie wird die schon vorrausgesetzt.
Meine Aufzeichnungen aus LAI bzw. LAII geben aber auch nichts brauchbares her.

Gruss,
Sven
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Matroid (Matroid)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. November, 2000 - 11:29:   Beitrag drucken

Als Beitrag zur Klärung der Definition:

In Deiner Aufgabe heißt es:
Sei f ein Polynom aus Q[x].

Was ist Q[x]? Antwort: eine Körpererweiterung von Q um das Element x.
Die Elemente aus Q[x] nennt man Polynome.

Über die algebraischen Eigenschaften von Q[x] muß
man sich dann klar werden. Ist Q[x] auch ein Körper? Vermutlich nicht ganz, denn für die Multiplikation von Polynomen ist die Existenz des Inversen Polynoms in Q[x] nicht gegeben.

Ich tippe mal, daß Q[x] ein Ring mit Eins und Ordnungsrelation ist.

Man kann sich nun in Ringen damit beschäftigen, ob bestimmte Elemente in andere Elemente zerlegt werden können.
Beispiel: In Z beschäftigt man sich mit der Frage, ob eine Zahl als nicht-triviales Produkt anderer (nichtnegativer) Zahlen geschrieben werden kann. Wenn nicht, dann spricht man von einer Primzahl.
Man könnte auch sagen, daß Primzahlen irreduzibel sind.

Um den Begriff irreduzibel in Q[x] anzuwenden, benötigt man also keine spezielle Definition dieses Begriffs im Zusammenhang mit Polynomen.
Ich vermute folgende allgemeine Definition:
Ein feQ[x] ist irreduzibel, wenn für alle g,heQ aus f=g*h folgt, daß f=g oder f=h.
Das ist hier nicht anders als bei den Primzahlen.

Nun müßte man sich noch eine Vorstellung davon machen, wie denn die Elemente aus Q[x] allgemein aussehen. Also: was passiert durch die Hinzunahme von x zum Körper Q ? Na ja, schließlich kommt dann heraus, daß f = Si=n i=0 ai xi ist. Mit aieQ.

Man definiert dann den Rang eines Polynoms als die maximale Potenz von x in obiger Schreibweise.

Und noch ein Begriff muß klar sein: Was ist eine "Nullstelle"?
Von einer Nullstelle zu sprechen, macht nur Sinn, wenn man eine Abbildung hat.
Die Elemente aus Q[x] sind aber keine Abbildungen. Wir können aber auf die einfache Weise eine Abbildung für jedes feQ[x] definieren. Die Abbildung nenne ich F und es ist F: R -> R
mit F(x) = Sn i=0 ai xi

Der Unterschied? Wo ist nun der Punkt?
In F ist das x eine reele Zahl. in f ist das x ein abstrakte Sache, x ist das Element, mit dem die Körpererweiterung durchgeführt wurde. Die Körpererweiterung wurde nicht mit einer reelen Zahl durchgeführt!

In Praxis ist die Unterscheidung zwischen f und F(x) nicht üblich. Ich mach's aber noch eine Weile.

In Deiner Aufgabe heißt es:
f hat keine Nullstelle => f irreduzibel

Nun ist schon wieder etwas nicht ganz klar:
Was ist das Produkt von zwei Abbildungen f und g?
also Wir definieren (f*g)(x) = f(x)*g(x).
[Das ist nicht zu verwechseln mit der möglichen Verknüpfung (fog)(x) = f(g(x))!]

Wenn die Abbildung F:R->R eine Nullstelle hat,
dann gibt es also ein ueR mit f(u)=0.

Nach den Rechenregeln der Mittelstufe kann man mit Polynomdivision dann (x-u) ausklammern.
Also hat man f(x) = (x-u)*h(x).
Wir nennen g(x) = x-u
g(x) ist die Abbildung basierend auf dem Polynom g = x-u e Q[x]. Ebenso existiert in Q[x] ein Polynom h, durch das die Abbildung h(x) gegeben ist.
Das Produkt der Polynome g*h ergibt die Abbildung g(x)*h(x).

So das war das Vorwort.
Am besten, Du versuchst das, was ich aus meinem Gedächtnis gezogen habe, in Deinen Mitschriften oder Büchern zu verifizieren.

Und wie ist nun der Beweis der Behauptung.
Na, vielleicht kannst Du es selbst.
Gruß
Matroid
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Zaph (Zaph)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. November, 2000 - 17:48:   Beitrag drucken

Q[x] ist die Menge aller Polynome mit Koeffizienten aus Q. Ein Polynom p(x) aus Q[x] heißt irreduzibel (in Q[x]), wenn es keine Polynome r(x) und s(x) aus Q[x] gibt mit p(x) = r(x) * s(x) und grad r(x) > 1 und grad s(x) > 1.

p(x) = (x² + 1)(x² + 1) hat keine Nullstelle in Q, ist aber reduzibel.

Also ist die zu beweisende Aussage falsch.

Beitrag verfassen
Das Senden ist in diesem Themengebiet nicht unterstützt. Kontaktieren Sie den Diskussions-Moderator für weitere Informationen.

ad

Administration Administration Abmelden Abmelden   Previous Page Previous Page Next Page Next Page