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Beitrag |
    
Rikardo
| | Veröffentlicht am Montag, den 06. November, 2000 - 16:55: | 
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Z.z. Ist p = 2(m steht im Exponent)m - 1
(m eine natürl. Zahl) eine Primzahl,so ist auch m eine Primzahl & gilt die Umkehrung?
Wie zeigt man so etwas? |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Montag, den 06. November, 2000 - 23:10: |
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Hi Rikardo,
tolle Aufgabe.
Mal sehen, wie man das zeigen kann.
Also von links nach rechts:
Behauptung: wenn p=2m-1 prim => m prim
Sei p eine Primzahl und m nicht prim.
Dann gibt es für m einen Teiler 1<n<m. Also auch ein r mit m=n*r
=> p=2m-1 = 2n*r-1
Wenn nun m=n*r gerade ist, dann wähle k=n*r/2eN.
Es ist dann p = 2n*r-1 = (2k+1)*(2k-1),
aber das ist ein Widerspruch zu p prim.
Sei nun m=n*r ungerade. Also ist m=2k+1 und m=n*r.
Dann ist: p = 2 * 22k - 1 = 2 * 4k - 1
Ja, und hier mache ich heute Schluß.
Ist zu spät. Vielleicht ist es bis hierhin richtig, vielleicht auch nicht.
Ich schau morgen noch mal rein.
Gruß
Matroid |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 07. November, 2000 - 08:25: |
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So, weiter geht's:
Wir waren bei ungeraden m = n*r, mit r,n>1
Man kann nun zeigen, daß
2n*r - 1 = ( 2n - 1 ) * [ irgendetwas ]
Und daraus folgt, daß p keine Primzahl sein kann.
Damit man den noch offenen Teil der Behauptung auch einsehen kann, setzt ich mal 2r = x.
Dann lautet die Aufgabe: Zeige, daß
xn - 1 = ( x - 1 ) * [ irgendetwas ]
Das irgendetwas kann man also mit Polynomdivision errechnen. Dabei wird sich das "irgendetwas" sich als ein Polynom in x herausstellen!
(xn-1) : (x-1) = Sn i=1 xn-1
Fertig: Wenn p eine Primzahl, dann ist m auch eine Primzahl.
Ach ja: ich hätte mir die Fallunterscheidung (m gerade/ungerade) auch sparen können. Das Argument mit der Polynomdivision gilt auch für gerade n.
Gruß
Matroid |
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