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Beitrag |
    
Anja
| | Veröffentlicht am Montag, den 06. November, 2000 - 16:53: | 
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Der Exponent m einer Fermatschen Primzahl p = 2(hoch m)+ 1
ist eine Potenz von 2,was ich beweisen muß.Wie gehe ich da vor? |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 07. November, 2000 - 11:33: |
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Hi Anja,
ich habe eben eine ähnliche Aufgabe beantwortet.
Siehe http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/messages/4244/6861.html?973585551
Da wird also gezeigt, daß
p Primzahl und p=2m - 1 => m ist Primzahl
Nun willst Du zeigen, daß
p Primzahl und p=2m + 1 => m = 2k, 0<keN.
Zeige ich das Gegenteil:
Wenn m keine Zweierpotenz ist, dann ist p=2m + 1 keine Primzahl.
Wenn m keine Zweierpotenz ist, dann ex. in der Primfaktorzerlegung von m ein Faktor q>2, q prim.
Also kann ich schreiben m = q * r [ r der Rest ]
Betrachte p = 2qr + 1
und bilde wie im o.g. anderen Beweis, den Quotienten von (xq + 1) : (x+1)
Das Ergebnis ist ein Polynom in x, gilt
p = 2qr + 1 = (2q+1)* Polynom
Da dann aber ein Teiler von p gefunden ist, kann p keine Primzahl sein.
Bleibt noch eine wichtige Frage: Warum mußte q eigentlich >2 sein?
Wenn Du die Polynomdivision mal ausführst, dann wirst Du merken, daß der Quotient nur dann ein Polynom ist, wenn q ungerade. Da alternieren nämlich Vorzeichen. Und bei geradem q käme man nicht bei x + 1 sonder bei -x +1 aus. Dann bleibt aber (-x+1)/(x-1) als Restterm übrig.
Nun hatten wir aber nur q>2 vorausgesetzt. Warum sollte q deswegen schon ungerade sein? Na, weil q eine Primzahl in der Primfaktorzerlegung von m ist.
Du mußt Dir den anderen Beweis wirklich ansehen.
Gruß
Matroid |
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