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Mersennesche Zahlen

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Kay Schönberger (kay_s)
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Neues Mitglied
Benutzername: kay_s

Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 01-2001
Veröffentlicht am Dienstag, den 23. April, 2002 - 07:54:   Beitrag drucken

Hallo,

Die sogenannten Mersenneschen Zahlen sind definiert als

Mp = 2p - 1

wobei p eine Primzahl ist.
Gezeigt werden soll, daß alle Teiler von Mp von der Struktur np + 1 mit einer nat. Zahl n sind.
Hat jemand eine Idee?...

Kay S.
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Carmichael
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Dienstag, den 23. April, 2002 - 16:32:   Beitrag drucken

M_p = 2^p -1;

es ist offensichtlich x=p die kleinste Zahl x, so dass 2^x = 1 (mod M_p);
also: Ordnung von 2 mod M_p = p
Sei q ein Primteiler von M_p, dann gilt nach kleinem Fermat: 2^(q-1) = 1 (mod M_p);
=> Ordnung von 2 mod M_p = p Teiler von q-1
=> pk = q-1; q = pk+1;
Da alle Primteiler von der Form pk+1 sind auch alle Teiler von dieser Form!


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