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Ron
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. April, 2002 - 07:42: | 
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Hallo
Ich habe Probleme folgendes zu beweisen:
Sei f: [0,oo[ -> R eine monoton fallende beschränkte Funktion.
Zeigen Sie:
a) Integral von 0 bis oo ( f([x]) – f(x) ) dx konvergiert (eckige Klammer Gaußklammer)
b) Integral von 0 bis 00 f (x) sin x dx existiert genau dann, wenn
lim(x->00) f(x) = 0
Hinweis zu b): Cauchy- Kriterium
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epsilon
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. April, 2002 - 20:05: |
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zu a) INtegral von n bis n+1 kann durch f(n)-f(n+1) abgeschätzt werden.
Aufsummieren liefert eine Abschätzung Intergral < f(0), also integrierbar
Gruß epsilon
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Ron
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 26. April, 2002 - 20:37: |
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hallo epsilon
Danke für deine schnelle Antwort.
Leider bin ich wohl etwas begriffsstutzig, aber ich weiß immer noch nicht so recht, wie ich diese Aufgabe angehen soll.
Warum nimmst du das Integral von n bis n+1 und wie kann ich dann mit f(n) - f(n+1) abschätzen??
Gruß Ron |
epsilon
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 27. April, 2002 - 12:50: |
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Puh, ohne zu zeichnen wird das schwierig!
Betrachte immer Streifen zwischen n und n+1, weil dort f([x]) = f(n) = constant ist.
Zeichne Dir eine monoton fallende Funktion auf.
Für x zwischen n und n+1 ist [x] = n und damit f([x]) - f(x) = f(n) - f(x).
Integral von n bis n+1 f(n)-f(x) ist dann die Fläche, die von x=n, Graph(f) und y=f(n+1) begrenzt wird (etwa ein rechtwinklige Dreieck, dessen "Hypotenuse" ein Stück des Funktionsgraphen ist)
Diese Fläche ist kleiner als das komplette Rechteck zwischen x=n und x=n+1, sowie y=f(n) und y=f(n+1); die Rechteckefläche = Höhe * Breite = ( f(n)-f(n+1))*1
Integral 0 bis unendl. = Summe der integrale n bis n+1 <= Summe f(n)-f(n+1) = f(0) - F(unendlich)
Uups; damit ist mein Ergebnis aus meiner ersten Antwort nur gültig, wenn f(x) >0 ist.
Aber weil f(x) geschränkt ist, gilt Integral =< f(0)-f(unendlich)
Gruß epsilon |
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