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Riga
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. April, 2002 - 07:39: | 
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Hallo
Ich weiß nicht genau, wie ich die folgende Aufgabe angehen soll.
Wir hatten in der Vorlesung ein Integralkriterium. Muß ich dass hier anwenden, wenn ja wie??
Zeigene mit Hilfe geeigneter Zwischensummen von Integralen, daß die Folgen a)- c) konvergieren:
(n Element N)
a) a_n = 1/n * Summe[1...n] sin ((k * Pi)/2*n)
b) b_n = ( Produkt [1…n] (1 + k/n)) ^1/n
c) c_n = 1/n * (Summe[0...n-1] 1/ (Pi/6 * (1 + (2* k+1)/n))
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orion (orion)
Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 33
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. April, 2002 - 09:19: |
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Hallo Riga :
Die gegebenen Folgen lassen sich alle
auf Riemannsummen für leicht
berechenbare bestimmte Integrale
zurückführe. Ich zeige das für a):
betrachte die Funktion sin(x) , 0 =< x =< pi/2.
Die Punkte
x_k := (pi/2)*k/n , k=0,...,n
bilden eine äquidistante Zerlegung dieses
Intervalles mit der Intervalllänge
Delta(x_k) = x_(k+1) - x_k) = pi/(2n).
Es ist
a_n = (2/pi)*sum[k=1...n]sin(x_k)*Delta(x_k)
die entsprechende Obersumme für das
Integral
(2/pi)*int[0...pi/2] sin(x) dx = 2/pi,
folglich
lim[n->oo] a_n = 2/pi.
Hinweis für b) : Betrachte L_n := log(b_n).
mfg
Orion |
Riga
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 26. April, 2002 - 15:32: |
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Hallo Orion
Vielen vielen Dank für deinen Tip. Die ersten beiden Aufgaben hab ich jetzt auch hinbekommen. Bei der dritten komme ich allerdings nicht weiter.
Welche Zerlegung in welchem Intervall muß ich da betrachten.
Kannst du mir hier noch einmal auf die Sprünge helfen?
Gruß Riga |
orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 171
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 26. April, 2002 - 21:59: |
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Hallo Riga :
Die relevante Funktion ist , abgesehen vom
Faktor pi/6 :
f(x) = 1/(1+x) , 0=< x =< 2
Die Punkte x_k := 2k+1/n , k=0,...,n-1
liegen alle in ]0 , 2[ . Füge noch x_0 := 0
und x_(n+1) := 2 hinzu. Dann haben wir eine
Zerlegung von [0,2] mit maximaler Intervallänge 2/n,
das strebt -> 0 für n-> oo und ergibt so
eine zulässige Zerlegungsfolge.
Die zugehörige Rechteckssumme
unterscheidet sich von c_n um etwas, das
mit n->oo wie 1/n gegen 0 strebt.
Eine Skizze ist hilfreich !
mfg
Orion
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orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 172
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 27. April, 2002 - 12:55: |
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P.S.:
Etwas eleganter geht es so :
Fasse C_n als Riemannsche Zwischensumme von f(x) für die Zerlegung mit den Teilpunkten
0, 2/n, 4/n, ... 2n/n = 2
und den Zwischenpunkten
t_k = (2k-1)/n , k= 1,..., n-1
auf. Das Ergebnis ist natürlich dasselbe.
Orion |
orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 173
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 27. April, 2002 - 12:55: |
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P.S.:
Etwas eleganter geht es so :
Fasse C_n als Riemannsche Zwischensumme von f(x) für die Zerlegung mit den Teilpunkten
0, 2/n, 4/n, ... 2n/n = 2
und den Zwischenpunkten
t_k = (2k-1)/n , k= 1,..., n-1
auf. Das Ergebnis ist natürlich dasselbe.
Orion |
Riga
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. April, 2002 - 08:31: |
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Entschuldig
Ich Idiot habe jetze erst gemerkt, dass ich mich verschrieben habe, die dritte Aufgabe lautet
C_n = 1/n * Summe[n=0...n-1]( 1/ (sin (Pi *( 1+ (2*k + 1)/n).
Daher auch mein Problem, welche Funktion muß ich nehmen wenn ich da den Sinus mit drinne habe und welche Zerlegung??
Bin ich mit f(x) = 1/sin x auf dem richtigen Weg??
Riga
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orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 176
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. April, 2002 - 11:00: |
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Bist Du sicher ? Dann müsste es wohl
f(x) = 1/sin(pi*(1+x))
heissen, und dann kommen wir in Schwierigkeiten : f(x) ist für x->0 und x->2
nicht beschränkt.
Orion
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Riga
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. April, 2002 - 11:12: |
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Heiß das dann, dass die Folge nicht konvergiert?
Riga |
Riga
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. April, 2002 - 11:15: |
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Nachtrag
Mist,
Ich habe wohl heute was mit den Augen, in der Summe wird nicht mit Pi multipliziert, sondern mit Pi/6.
Nochmals Entschuldigung |
orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 177
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. April, 2002 - 16:23: |
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Da haben wir ja nochmal Glück gehabt !
Als Grenzwert ergibt sich nun
int[0...2] 1/sin(Pi/6(1+x) *dx,
was sich leicht aus
int 1/sin(u)*du = ln( |tan(u/2)| )
berechnen lässt.
Orion |
Sky
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. April, 2002 - 16:40: |
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Ich habe auch ein Problem bei der Aufgabe.Warum heißt es bei a) denn
"Es ist
a_n = (2/pi)*sum[k=1...n]sin(x_k)*Delta(x_k) "
Wo kommt das 2/pi her?
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sky
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. April, 2002 - 16:58: |
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vielleicht hättest du ja auch noch nen kleinen Tipp, wie sich b_n durch log verändert.Danke |
Riga
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. April, 2002 - 21:55: |
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Danke Orion für deine Geduld mit mir. Ich hab es jetzt endlich auch verstanden.
An Sky:
Wenn du den Logarithmus von b_n nimmst, dann kannst du mit Hilfe der Funktionalgleichung das Produkt in eine Summe verwandeln und so auf eine ähnliche Weise wie a) berechnen.
Riga |
