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Beitrag |
    
dilbeste (sunem)
Neues Mitglied
Benutzername: sunem
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 22. April, 2002 - 11:53: | 
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Hallo Mathematik-Fans,
hab hier ein Beweisproblem...ich wurd mich freuen, falls mir jmd dabei behilflich sein kann:
man soll beweisen: Für jede natürliche Zahl
n>= 4 gilt 2^n (zwei hoch n) < n! .
2. Für jede natürliche Zahl n ungleich 3 gilt
n²<= 2^n (n quadrat kleinergleich 2 hoch n.)
hmm..hab zwar eine idee..durch vollständige Induktion..vielleicht bekomm ich es doch noch hin...aber wie gesagt..bitte paar tipps |
Jens
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. April, 2002 - 18:57: |
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Induktionsanfang n=4: 2^4=16 < 24 = 4!
Induktionsschritt n->n+1: 2^(n+1) = 2^n * 2 <(Induktionsvoraussetzung) n! * 2 < (n+1)! (da n>=4) |
Konno (grafzahl22)
Neues Mitglied
Benutzername: grafzahl22
Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. April, 2002 - 15:17: |
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2. Die natürlichen Zahlen sind :
1,2,3,4,5,6,7,8,9,...
n = 1 :
1^2 = 1 < 2 = 2^1
n = 2 :
2^2 = 4 = 4 = 2^2
Induktions-Anfang :
n = 4 :
4^2 = 16 = 16 = 2^4
Induktions-Verankerung :
Es gelte für n :
n^2 <= 2^n
Bleibt noch zu zeigen :
(n+1)^2 <= 2^(n+1)
Induktionsschritt :
n ---> n+1 :
Laut 1. Binomischen Formel gilt :
(n+1)^2 = n^2 + 2*n + 1
Für n+1 >= 4 gilt aber :
2*n + 1 < n^2
Für n+1 >= 4 gilt also :
n^2 + 2*n + 1 < n^2 + n^2
Laut Induktions-Verankerung gilt :
n^2 <= 2^n
Es gilt also :
2*n^2 <= 2*2^n
Es gilt aber :
2*2^n = 2^(n+1)
q.e.d.
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