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Beitrag |
    
Peter Weihrauch (Pitti)
| | Veröffentlicht am Montag, den 06. November, 2000 - 08:35: | 
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Hallo Leute!!
Ich hab ein ziemliches Problem!
Ich soll folgende Gleichung lösen:
z^6= -0.5+0.5*Wurzel aus 3*i
Kann mir jemand helfen?
viele Dankesgrüße schon im vorraus.
P.W |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 07. November, 2000 - 14:28: |
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Hi Peter,
Die gegebene komplexe Zahl w = a + i * b
mit dem Realteil a = - 0.5 und dem Imaginärteil
b = 0.5*wurzel(3) auf der rechten Seite Deiner
Gleichung stellen wir zunächst in der
trigonometrischen Schreibweise dar,
welche lautet:
w = r * [ cos (phi) + i * sin(phi) ]:
Wir berechnen den Betrag R = abs(w) und das
Argument phi = arg (w):
r = wurzel(a^2 + b^2) = 1
tan(phi) = b / a = - wurzel (3)
In der Gauss'schen Zahlenebene liegt der Punkt W,
der die Zahl w darstellt, im zweiten Quadrant,
somit gilt für das Argument:
arg(w) = phi = 120°
Deine Aufgabe verlangt, aus w die sechste Wurzel zu
ziehen.
Für das Resultat z gilt:
Der Betrag R von z ist die sechste Wurzel aus w ;
somit R = 1
Das Argument PHI von z ist gleich dem sechsten Teil
des Argumentes von w;
somit arg(z) = PHI = 120° / 6 = 20°
Mit diesen Daten erhalten wir eine erste Lösung deiner Aufgabe:
z1 = 1 * [cos 20° + i sin(20°] ~0.939692 + i* 0.342020
Die übrigen fünf Lösungen folgen später !
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 07. November, 2000 - 15:09: |
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Hi Peter,
Wie angekündigt, leiten wir jetzt die übrigen fünf Lösungen
z2,z3,z4,z5,z6 her:
Dies geschieht dadurch, dass wir zum Argument phi von w
fünfmal hintereinander Vielfache von 360° addieren.
Um das neue Argument PHI von z zu erhalten, sind diese
Zusätze je mit sechs zu dividieren
Die Argumente der noch ausstehenden Lösungen sind daher die folgenden:
Für z2 : PHI = 20° + 360° / 6 = 80°
Für z3 : PHI = 20° + 2 * 360° / 6 = 140°
............................
Für z6 : PHI = 20° + 5 * 360° / 6 = 320°
Mit der Abkürzung cis(PHI) für cos PHI + i sinPHI
lassen sich die Lösungen so darstellen
zj = cis [20° + (j-1) * 60°] , j = 1,2,3,4,5,6
Wir verzichten darauf ,die Zahlenwerte anzugeben
Jedoch soll ein Tippfehler im ersten Teil korrigiert werden
Es soll heissen: "Der Betrag R von z ist die sechste
Wurzel aus r = 1 " ( NICHT "aus w " ) |
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