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Robin
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 21. April, 2002 - 15:01: | 
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Hallo
Kann mir jemand bei folgender Aufgabe weiterhelfen??
Sei R ein kommutativer Ring mit Einselement.
Man zeige, dass R genau dann ein Körper ist, wenn R genau 2 verschiedene Ideale besitzt. |
epsilon
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 21. April, 2002 - 15:44: |
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Versuche es etwa so:
R Körper => R hat (als Ring) nur die Ideale {0} und R selbst
R hat nur zwei Ideale => zu jedem a(ungl.0) aus R gibt es das Inverse bzgl. Multiplikation, weil 1 in dem von {a} aufgespannten Ideal sein muss!
Gruß epsilon
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Robin
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. April, 2002 - 09:10: |
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Hallo epsilon
Danke für deine schnelle Antwort.
Die erste Richtung verstehe ich jetzt. Aber wieso ist bei der zweiten Richtung (R hat zwei Ideale) 1 in dem von {a} aufgespannten Ideal, und wieso gibt es dann zu jedem a das Inverse??
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epsilon
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. April, 2002 - 15:56: |
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Wenn a nicht 0 ist, dann liegt a im (von {a} aufgesannten) Ideal R*a. Da dieses Ideal nicht das Nullideal ist (es enthält ja a=/=0) muss es zwangsläufig =R sein (andere Ideale gibt es nach Voraussetzung nicht). Das bedeutet, dass 1 in R*a liegt, also gibt es ein b Element R mit b*a = 1.
epsilon |
