| Autor |
Beitrag |
    
Reto
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 19. April, 2002 - 21:48: | 
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hallo
ich beschäftige mich seit längerem mit folgender gleichung. leider bin ich immer noch nicht auf eine vernünftige lösung gekommen.
gleichung:
e(hoch)x = x
e: eulersche zahl
x: gesuchte variable
wer kann mir helfen? |
clara
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 17. Mai, 2002 - 18:01: |
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Diese Gleichung hat keine Lösung. |
Schuster (s_oeht)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: s_oeht
Nummer des Beitrags: 116
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 17. Mai, 2002 - 19:57: |
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im reellen hat sie keine
aber im komplexen |
Schuster (s_oeht)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: s_oeht
Nummer des Beitrags: 117
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 17. Mai, 2002 - 20:34: |
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wenn mich nicht alles täscht, hat diese gleichung im komplexen sogar unendlich viele lösungen:
x=a+b*i
e^(a+b*i)=a+b*i
e^a*(cos(b)+i*sin(b))=a+b*i
a=e^a*cos(b)
b=e^a*sin(b)
b=arccos(a/e^a)
eine lösung wäre z.B. 0.3181315052-1.337235701*i |
clara
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 18. Mai, 2002 - 13:17: |
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Hi,
ich habe mir zwar nicht ernsthaft Gedanken darüber gemacht, ob die Gleichung im komplexen eine Lösung hat, aber ich kann es mir nicht vorstellen. Das ist aber leider kein Beweis.
Deine obige Methode führt aber auch nur wieder auf eine Gleichung die man erst mal lösen muß und Deine Zahlen liefern keine Lösung, denn eingesetzt in exp(a+bi) erhält man:
0,318131505779-1,33723570129*i |
Schuster (s_oeht)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: s_oeht
Nummer des Beitrags: 120
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 18. Mai, 2002 - 16:22: |
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a und b sind beide gerundet, desshalb die abweichung
meine gleichungen sollen nur irgendwie zeigen, dass es nicht nur eine lösung gibt
als ergebnis könnte man auch schreiben
-LambertW(-1)
und jetzt mein beispiel mal mit höherer genauigkeit
0.3181315052047641353126542515876645172035176138713998669223786062294138715576269792324863848986361638-1.337235701430689408901162143193710612539502138460512418876312781914350531361204988418881323438794016*i
MfG Theo |
clara
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 18. Mai, 2002 - 16:39: |
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Hi Theo,
maple hat mir auch dieses Ergebnis rausgeschmissen, aber damit kann ich nichts anfangen, weil ich mit dem Programm auch nicht gut umgehen kann. Aber eine Probe macht mir Maple auch nicht und wenn ich versuche, deine obigen Angaben einzusetzen, dann kann ich es auch nicht überprüfen, weil b mit b definiert wird und ich mich damit nur im Kreis drehe.
Kurz: nur weil maple soetwas komisches "sagt" (für mich komisch), heißt das noch nicht, dass es auch eine Lösung ist. Programme können sich auch irren.
clara |
Schuster (s_oeht)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: s_oeht
Nummer des Beitrags: 121
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 18. Mai, 2002 - 19:26: |
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maple hat sich aber zumindest in diesem fall nicht geirrt!
die kannst doch selbst (mit taschenrechner) die werte überberprüfen, die ich angegeben habe. das beispiel, für eine mögliche lösung hat mir z.B. maple geliefert!
MfG Theo |
clara
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Mai, 2002 - 13:10: |
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klar, die Dezimalzahlen kann ich eingeben und ich bezweifel auch nicht, dass der Rechner dasselbe Ergebnis liefert, aber beim Rechner bildet die Addtion nicht einmal eine abelsche Gruppe. Wenn der Rechner nur mit 100 Stellen nach dem Komma rechnet, gibt er was als richtig raus, was mathematisch nicht richtig ist. Und wenn ich a und b (in cos, sin, a und b ausgedrückt) einsetze, bringt mir das gar nichts.
Gruß clara |
Schuster (s_oeht)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: s_oeht
Nummer des Beitrags: 133
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Mai, 2002 - 17:03: |
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schon klar ansonsten musst du ebend versuchen mit meinem ersten ansatz weiterzurechnen um einen ausdruck zu erhalten, mit dem man alle möglichen zahlenpare a und b berechnen kann, die zur lösungsmenge gehören.
meine letzte formel funktioniert irgendwie noch nicht! sich liefert zwar, wenn ich den beispielwert von maple für a einsetze den wert für b, aber ich habe es noch nicht geschafft andere werte damit zu berechnen.
vieleicht hast du ja ne idee, dass mein ansatz richtig ist bin ich mir sicher.
x=a+b*i
e^(a+b*i)=a+b*i
e^a*(cos(b)+i*sin(b))=a+b*i
a=e^a*cos(b)
b=e^a*sin(b)
b=arccos(a/e^a) (wäre eine möglichkeit, die aber nicht funktionirt)
eine andere wäre :
a=e^a*cos(b)
b=e^a*sin(b)
a/cos(b)=b/sin(b)
a=b*cot(b)
oder a=ln(b/sin(b))
aber irgend wie funktioniert keine variante!
eigentlich müssten sie mir ja für ein beliebiges a oder b das entsprechene b oder a liefern.
naja vieleicht weisst du ja wie man von meinem ansatz an weiterechnet. hab erstmal keine idee mehr.
Mfg Theo
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Ingo (ingo)
Moderator
Benutzername: ingo
Nummer des Beitrags: 454
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Mai, 2002 - 20:04: |
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Was Du Dir da erarbeitest, Theo , sind nur notwendige Bedingungen. Um hinreichende zu erhalten müßte das (nichtlineare) GLS vollständig gelöst werden. Wir können b=0 von vornerein ausschließen,denn bekanntlich ist a=ea im reellen nicht lösbar. Für alle anderen Fälle formen wir das GLS weiter um.
(1) a=eacos(b)
(2) b=easin(b)
(1) a=eacos(b)
(1) : (2) a=b*cot(b)
Du würdest also alle Lösungen erhalten,wenn es Dir gelänge die Gleichung
b*cot(b)=cos(b)*eb*cot(b)
bzw. b-sin(b)eb*cot(b)=0
zu lösen.
Elementar ist dies sicherlich nicht und auch mit dem Newton Verfahren bin ich an dieser Stelle nicht weiter gekommen. Ich vermute mal, es gibt überhaupt keine Lösung.
(Beitrag nachträglich am 19., Mai. 2002 von ingo editiert) |
Schuster (s_oeht)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: s_oeht
Nummer des Beitrags: 143
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. Mai, 2002 - 13:34: |
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wäre nicht die gleichung geeigneter:
ln(b/sin(b))-b*cot(b)=0
liefert als nullstellen:
b=+-1,3372357 a=0,318131506
b=+-7,5886312 a=2,06227756
b=+-13,949208
b=+-20,272458
b=+-26,580471
usw.
liefern aber beide die gleichen ergebnisse merk ich gerade.
wie schon erwähnt gibt es unendlich viele lösungen, was ja jetzt ersichtlich ist, auch ohne maple!
MfG theo
MfG theo |
