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Tantor (tantor)
Neues Mitglied
Benutzername: tantor
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. April, 2002 - 16:38: | 
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Hallo,
kann mir vielleicht jemand bei folgenden Aufgabe helfen ?
1. Zeigen Sie das die Gaußklammerfunktion in allen x Elemet Z unstetig ist.
2. Untersuchen Sie die gegebenen Funktionen auf Stewtigkeit in x=0
a) x = sin(1/x) für x ungleich 0
0 für x = 0
b) x= x sin(1/x) für x ungleich 0
0 für x = 0
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J
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 19. April, 2002 - 11:00: |
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Zu 1)
Sei a element Z beliebig
die funktion x->[x] ist stetig an der stelle a genau dann, wenn gilt:
Für alle folgen an mit lim an = a gilt:
lim [an] = [a]
sei nun an definiert durch an:= a+1/(n+1)
es ist klar dasss gilt: lim an = a
da für alle n gilt [a+1/(n+1)] = a folgt:
lim [an] = a
Sei nun bn definiert durch bn:= a-1/(n+1)
es gilt natrlich lim bn = a
da andererseits für alle n gilt: [bn] = a-1 folt:
lim [bn] = a-1
an und bn haben also verschiedene Grenzwerte 0> de gaussklammerfunktion ist an der stelle a nicht stetig!
Zu 2)
Hier ist anstelle eines formalen beweises eine anschauliche beschreibung sinnvoller:
sei an die Folge aller positiven maximumstellen, von irgendeiner stelle an, fallend geordnet.
(d.h. sin(1/x) nimmt für alle x aus dieser Folge ein lokales maximum an)
dann gilt: lim an = 0 und lim sin(1/an) = 1
sei bn die folge aller positiven minimumstellen, von irgendeiner stelle an, fallend geordnet.
(d.h. sin(1/x) nimmt für alle x aus dieser folge ein lokales minimum an)
dann gilt: lim bn = 0 und lim sin(1/bn) = -1
Daraus folt, dass die funktion x->sin(1/x) an der stelle 0 nicht stetig ist!
zu 3
Am besten mit der beknannten epsilon-delta-definition der stetigkeit:
wegen sin x <= 1 für alle x gilt: |x*sin(x)| <= |x|
sei nun epsilon > 0.
sei ferner delta = epsilon
für alle x aus der definitionsmenge von f gilt: wenn x> epsilon gilt, so gilt auch x*sin(1/x) <= x*1 <=x <epsilon = delta.
wzbw.
(hier steht <= für 'kleiner oder gleich')
Gruß: J
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