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komplex differenzierbar

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Kai
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Montag, den 15. April, 2002 - 18:52:   Beitrag drucken

Hallo!
In welchen Punkten sind denn die folgenden Funktionen komplex differenzierbar??
a) f(z)=|z|²
b) f(z)= (Rez)*(Imz)
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qwertz
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Dienstag, den 16. April, 2002 - 09:09:   Beitrag drucken

Ist zwar schon lange her (deshalb bin ich nicht mehr 100% sicher), aber ich glaube f ist komplex diffbar, wenn f partiell nach z* (konjugiert komplexe Zahl zu z) abgeleitet gleich 0 ist!


a) f(z) = z z* => df/dz* (jeweils "krummes" d!!) df/dz* = z das ist gleich 0, nur wenn z=0 ist, also nur im Ursprung.

b) f(z) = Re(z)Im(z) = 0,25(z+z*)(z-z*) = 0,25(z²-z*²) => df/dz* = -0,5z*; das ist gleich 0, wenn z*=0 ist, also auch nur für z=0

qwertz
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orion (orion)
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Mitglied
Benutzername: orion

Nummer des Beitrags: 25
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. April, 2002 - 10:35:   Beitrag drucken

Hallo Kai :

(a) Bilde den Differenzenquotienten

(f(z+h)-f(z))/h = (h*/h)z+z*+h*.

Sei h = u+vi . Lassen wir zunächst h längs
der reellen Achse gegen 0 streben, also
v=0 und u->0 , so ergibt sich als Grenzwert
z+z*. Strebt andererseits h längs der
imaginären Achse nach 0, also u=0 und v->0,
so erhält man -z+z* . Beide Grenzwerte
stimmen genau für z=0 überein, also ist
f(z) = |z|^2 genau im Punkt 0 komplex
differenzierbar.

(b) Die entsprechende Frage für f(z) =
Re(z)*Im(z) = (1/4i)(z^2-z*^2) reduziert sich
auf z*^2 und erledigt sich ebenso einfach.

mfg

Orion

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