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Kai
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Montag, den 15. April, 2002 - 18:52: |
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Hallo! In welchen Punkten sind denn die folgenden Funktionen komplex differenzierbar?? a) f(z)=|z|² b) f(z)= (Rez)*(Imz) |
qwertz
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Dienstag, den 16. April, 2002 - 09:09: |
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Ist zwar schon lange her (deshalb bin ich nicht mehr 100% sicher), aber ich glaube f ist komplex diffbar, wenn f partiell nach z* (konjugiert komplexe Zahl zu z) abgeleitet gleich 0 ist! a) f(z) = z z* => df/dz* (jeweils "krummes" d!!) df/dz* = z das ist gleich 0, nur wenn z=0 ist, also nur im Ursprung. b) f(z) = Re(z)Im(z) = 0,25(z+z*)(z-z*) = 0,25(z²-z*²) => df/dz* = -0,5z*; das ist gleich 0, wenn z*=0 ist, also auch nur für z=0 qwertz |
orion (orion)
Mitglied Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 25 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. April, 2002 - 10:35: |
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Hallo Kai : (a) Bilde den Differenzenquotienten (f(z+h)-f(z))/h = (h*/h)z+z*+h*. Sei h = u+vi . Lassen wir zunächst h längs der reellen Achse gegen 0 streben, also v=0 und u->0 , so ergibt sich als Grenzwert z+z*. Strebt andererseits h längs der imaginären Achse nach 0, also u=0 und v->0, so erhält man -z+z* . Beide Grenzwerte stimmen genau für z=0 überein, also ist f(z) = |z|^2 genau im Punkt 0 komplex differenzierbar. (b) Die entsprechende Frage für f(z) = Re(z)*Im(z) = (1/4i)(z^2-z*^2) reduziert sich auf z*^2 und erledigt sich ebenso einfach. mfg Orion |
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