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Beitrag |
    
Susanna
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 15. April, 2002 - 10:44: | 
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Untersuchen Sie,welche der nachstehenden Folgen konvergieren und bestimmen Sie ggfs. den Grenzwert. Geben Sie dabei die von Ihnen benutzten Regeln über das Operieren mit konvergenten Folgen an; im Divergenzfall führen Sie bitte einen Beweis für die Divergenz.
an := ((3n+1)(n-3)) / 4n^2-1
an := (2n + (-1)^n) / n+2
a1 := 1; 1n+1 := an(2-3an) für N=1,2,...
Tipp zu a1: Fall (an) konvergent ist, kommt nur a=0 oder a = 1/3 als Grenzwert in Frage (Begründung?), und wenn an0 <=>= n0 (Beweis?). |
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 80
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 15. April, 2002 - 14:20: |
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es ist wohl die Konvergenz für n->unendlich gemeint, und da von Folgen die Rede ist ist nicht die Summe der Reihe gemeint.
Da
auf "Universitäts-Nivau" gepostet darf ich wohl die L'Hospitalsche Regel voraussetzen
bei
der 1ten Aufgabe enthält sowohl Zähler als auch
Nenner eine Ausdruch der Form an²+bn+c;
2malige L'Hospitalanwendung ergibt als Grenzwert für n->unendlich den Quotienten der Koeffitienten der Quadratischen Glieder.
2te Aufgabe: 1malige L'Hospital; Grenzwert 2
3te Aufgabe:
wenn man annehmen kann dass die Folge konvergiert
bedeutete das,
dass schließlich an=an+1 gilt
hier also
Grenzwert g = g(2-3g)= 2g - 3g²
3g²=g daher die Schlussfolgerung,
aber
spätestens beim 4tem Glied der Folge (1,-1,-5,-78,..)
wird
klar dass sie nicht konvergiert.Schreibt
man
an+1=2an-3a²n
sieht
man dass, sobald an < -1 gilt die Folge nur mehr divergieren kann
(
aus an < (-1) folgt an+1 = 2an-3a²n = -(2|an|+3a²n)< (-an-1)
) |
Schulmathe
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 15. April, 2002 - 17:41: |
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Hallo Susanna,
lass dich nicht verwirren:
eine Folge ist entweder konvergent oder divergent.
Sie ist NICHT "für n -> unendlich" konvergent!
Man könnte auch hinzufügen:
Da von Folgen die Rede ist ist nicht der Logarithmus gemeint! |
Ingo (ingo)
Moderator
Benutzername: ingo
Nummer des Beitrags: 45
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 16. April, 2002 - 01:17: |
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Auch wenn es Uniniveau ist, halte ich ein Vorgehen nach L'Hospital für fragwürdig, weil das themenmäßig erst im Zusammenhang mit differenzierbaren Funktionen auftritt, die wiederum erst eingeführt werden können, wenn der Begriff der konvergenten Folge bekannt ist.
Es geht aber auch weit einfacher. Man teile in der ersten Folge alle Glieder durch n², in der zweiten durch n. Das führt dann auf
1) an=(3+(1/n))(1-(3/n)) / (4-(1/n²))
2) an=(2+(-1)n/n) / (1+(2/n))
Offensichtlich konvergiert die erste Folge gegen 3*1/4=3/4 und die zweite gegen 2/1=2
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