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Evelyn (Evelyn)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 04. November, 2000 - 17:27: | 
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a(0), a(1), a(2),... seien ganze Zahlen mit
a(0)=1, a(1)=2 und a(n+1) = 1+2a(n-1)+ Summe über a(k) von k=0 bis (n-1)
für jede natürliche Zahl n größergleich 1.
Bestimme für jedes n Element N+ die Zahl a(n).
(Alles in Klammern steht als Index).
Wäre lieb, wenn mir jemand helfen könnte.
Evelyn |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 04. November, 2000 - 22:16: |
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Hi Evelyn,
kann es sein, daß die Rekursionsformel so lautet:
a(n+1) = 1 + 2a(n)+Sn-1 k=0a(k) ?
Gruß
Matroid |
Evelyn (Evelyn)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. November, 2000 - 10:11: |
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Hallo Matroid.
Ich hab´s gerade probiert die Gleichung mit den Formeleditor nochmals einzugeben, aber es funktioniert nicht!
Deine Formel stimmt fast, nur daß es nach dem Gleichheitszeichen lautet: 1 +2a(n-1)+ usw.
WOBEI n-1 WIEDER TIEFGESTELLT ALS INDEX!!
Gruß Evelyn |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. November, 2000 - 16:06: |
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Hi Evelyn,
ok, also folgende Formel:
a(n+1) = 1 + 2an-1 + Sn-1 k=0 a(k)
Ich habe nur deshalb zuerst gefragt, weil in dieser Formel an zwei Stellen das an-1 vorkommt. Der letzte Summand der Summe (für k=n-1) ist ja auch an-1.
Man könnte also auch die an-1 zusammenfassen:
a(n+1) = 1 + 2an-1 + an-1 + Sn-2 k=0 a(k) = 1 + 3an-1 + Sn-2 k=0 a(k). Aber das bringt einen auch nicht weiter.
Nun zur Lösung:
Gegeben sind:
a(0) = 1
a(1) = 2
Ich rechne zuerst mal ein paar weitere Folgenglieder aus:
a(2) = 1 + 3*a(0) + S-1 k=0 a(k)
Die Summe hat also keine Summanden!
=> a(2) = 1+3*1 = 4
a(3) = 1 + 3*a(1) + S0 k=0 a(k)
Die Summe hat also nur einen Summanden: k=0!
=> a(3) = 1+3*a(1) + a(0) = 1 + 3*2 + 1 = 8
a(4) = 1 + 3*a(2) + S1 k=0 a(k)
Die Summe hat also zwei Summanden: k=0 und k=1!
=> a(4) = 1+3*a(2) + a(0) + a(1) = 1 + 3*4 + 1 + 2 = 16
a(5) = 1 + 3*a(3) + S2 k=0 a(k)
=> a(5) = 1+3*a(3) + a(0) + a(1) + a(2) = 1 + 3*8 + 1 + 2 + 4 = 32
Das sieht irgendwie so aus, als ab a(n) = 2n sein könnte.
Diese Vermutung habe ich durch die ersten berechneten Folgenglieder gefunden.
Ich weiss noch nicht, ob diese Vermutung richtig ist, aber ich will versuchen sie zu beweisen. Und wenn ich a(n) = 2n beweisen kann, dann habe ich die geforderte Formel für a(n).
Beweis mit vollständiger Induktion.
Die Behauptung a(n) = 2n ist richtig für n=1,2,3,4 und 5 (wie man oben gesehen hat).
Nun zum Induktionsschritt. Wir wissen also, dass für alle n<=n0 gilt: a(n) = 2n.
a(n+1) = 1 + 2an-1 + Sn-1 k=0 a(k)
= 1 + 2*2n-1 + Sn-1 k=0 2k
Die Summe Sn-1 k=0 2k ist gleich (2n-1)/(2-1). Diese Formel ist bekannt, denn es handelt sich um eine geometrische Reihe mit q=2.
Das setze ich nun ein:
a(n+1) = 1 + 2*2n-1 + (2n-1-1)/(2-1) = 1 + 2*2n-1 + 2n - 1 = 2n + 2n = 2n+1
Das wollten wir zeigen.
Also gilt für alle n: a(n) = 2n
Gruß
Matroid |
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