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Beitrag |
    
Vince
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. April, 2002 - 19:32: | 
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Hallo Leute,
dieses Prinzip der Variablensubstitution will mir noch nicht so ganz in Fleisch und Blut übergehen. Grundsätzlich habe ich die Aussage der Substituionsregel wohl verstanden und kann auch einige leichte Aufgaben lösen. Leider scheine ich aber trotzdem noch einige Lücken zu haben.
Ein Beispiel, was ich nicht nachvollziehen kann ist das unbestimmte Integral über (sin^5) x dx. Die Musterlösung geht wie folgt vor ("[I]" soll mal mein Integralzeichen symbolisieren):
[I] (sin^5) x dx
= [I] (1-(cos^2)x)^2 * sin x dx
= - [I] (1-t^2)^2 dt [mit Substituion cos x = t =: Phi^(-1)]
= usw.... (Rest ist mir dann klar)
Den Substituionsschritt kann ich so nicht nachvollziehen. Gehe ich recht in der Annahme, dass ich zunächst die Vorgehensweise über die Funktion Phi (in diesem Fall wohl "= arccos t") und eine Zuordnung dann mittels
[I] f(x)dx = [I] f (Phi(t))*Phi'(t) dt
vergessen kann? Letztlich würde ich auch gerne wissen, ob ich es mir nicht einfacher bei der Substitution machen kann. Wird hier nicht einfach cos x simple durch t ersetzt. Ich höre häufig, dass man zum Schluss nur noch "das dx substituieren muss". Ist das damit gemeint, wenn hier am Ende durch die Feststellung
sin x dx = - dt
einfach der Rest ersetzt wird. Aber neben der Frage, warum sin x dx = - dt überhaupt gilt, wüsste ich gerne, wie man "das dx so einfach substitutiert".
Ich würde mich freuen, wenn mir jemand bei diesem Problem helfen könnte.
Danke und Gruß,
Vince |
Fern
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. April, 2002 - 20:23: |
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Hallo Vince,
ò (1-cos²(x))²*sin(x)*dx
wir substituieren t = cos(x)
und bilden die Ableitung: dt/dx = -sin(x)
also dx = -dt/sin(x)
Nun setzen wir ein:
für cos(x) schreiben wir t
und für dx schreiben wir -dt/sin(x)
(das sin(x) lassen wir vorläufig unverändert)
=ò (1-t²)²*sin(x)*(-dt/sin(x))
normalerweise wäre dieses Resultat nicht brauchbar, weil der Integrand nun 2 Variablen enthält.
In diesem Beispiel (und in vielen ähnlichen) kürzt sich glücklicherweise das sin(x) weg:
= -ò (1-t²)² dt
nun haben wir ein leicht zu lösendes Integral in der Variablen t
= -(1/5)t5 + (2/3)t³ + t
Rücksubstitution: wir schreiben statt t wieder cos(x):
= -(1/5)cos5(x) + (2/3)cos³(x) + cos(x) +C
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Fern
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. April, 2002 - 20:25: |
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nochmal damit ich aus dem schrecklichen Grau herauskomme:
Hallo Vince,
ò (1-cos²(x))²*sin(x)*dx
wir substituieren t = cos(x)
und bilden die Ableitung: dt/dx = -sin(x)
also dx = -dt/sin(x)
Nun setzen wir ein:
für cos(x) schreiben wir t
und für dx schreiben wir -dt/sin(x)
(das sin(x) lassen wir vorläufig unverändert)
=ò (1-t²)²*sin(x)*(-dt/sin(x))
normalerweise wäre dieses Resultat nicht brauchbar, weil der Integrand nun 2 Variablen enthält.
In diesem Beispiel (und in vielen ähnlichen) kürzt sich glücklicherweise das sin(x) weg:
= -ò (1-t²)² dt
nun haben wir ein leicht zu lösendes Integral in der Variablen t
= -(1/5)t5 + (2/3)t³ + t
Rücksubstitution: wir schreiben statt t wieder cos(x):
= -(1/5)cos5(x) + (2/3)cos³(x) + cos(x) +C
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Vince
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. April, 2002 - 11:41: |
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Liebe(r?) Fern,
vielen Dank für Deine schnelle Antwort. Aufgrund Deiner übersichtlichen und logischen Ausführung habe ich das jetzt auch gut verstanden. Ich hoffe, dass ich dies nun bei ähnlichen Aufgaben auch mal selbständig hinbekomme und eine geeignete Substituion direkt "sehen" kann. Aber da macht wohl nur Übung den Meister, oder? ;-)
Liebe Grüße und schönes Wochenende,
Vince |
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