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Beitrag |
    
Michi
| | Veröffentlicht am Samstag, den 04. November, 2000 - 15:22: | 
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Hallo, könnt ihr mir bitte helfen?
Ich suche für die Funktion f(x)=(1/k)*x^(-k)+ln(x^2)
die Nullstellen in Abhängigkeit von k.
Danke! |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. November, 2000 - 19:12: |
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Hi Michi,
das ist echt kompliziert.
Ich habe mal ein wenig mit f(x) herumgemacht:
Nehmen wir mal an, daß x eine positive Nullstelle ist, dann können wir umformen:
0 = (1/k)*x-k + ln(x{2})
= 1/k * (1/x)k + 2 * ln(x)
= 1/k * (1/x)k - 2 * ln(1/x)
= 1/k * (1/x)k - 2 * 1/k * ln((1/x)k)
Dann substituiere ich z = (1/x)k
<=> 0 = 1/k * z - 2 * 1/k * ln(z)
multipliziere mit k
<=> z/2 = ln(z)
Frage: für welche positiven zeR ist ln(z) = z/2 ?
Wenn 0<z<1, dann ist ln(z)<0. Also für 0<z<1 keine Lösungen.
Wenn z>=1 vielleicht? Es ist f(1) > 0 und f'(x) = 1/xk+1 + 2/x = 0 ist immer größer 0, d.h. f ist monoton wachsend. Also gilt f(x)>=f(1) fuer alle x>1 => keine positiven Nullstellen.
Nun lass uns negative Nullstellen suchen:
Für negative x substituiere ich y=(-1)*x
=> 1/k * 1/((-1)k*yk) + ln y2
0 = (1/k)*(-1)k*y-k + 2*ln(y)
=> (-1)k * z = 2 ln z
mit z = (1/y)k
Für gerade k ist das z = 2 ln z mit einem z>0.
Da gibt es keine Lösung. Ich glaube, man kann dann das Argument für positive x nun auf die positiven z übertragen.
Für ungerade k ist das -z = 2 ln z
Oder auch z2 = e-z.
Da gibt es wohl Lösungen, aber ich kann dafür keinen geschlossenen Ausdruck angeben.
Mehr fällt mir also nicht ein.
Vielleicht kannst Du ja mit dem, was ich geschrieben habe, irgendetwas anfangen. Vielleicht hast Du ja selbst noch eine Idee. Ich kenne ja nicht den Stoff, den Ihr sonst gerade habt.
Gruß
Matroid |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. November, 2000 - 19:14: |
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Eine Nullstelle für k=1 ist z.B. ungefähr x=-1,4215...
Habe ich durch probieren mit meinem Taschenrechner. |
Michi
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. November, 2000 - 17:41: |
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Vielen Dank Matroid, du hast mir echt weitergeholfen. Außerdem habe ich jetzt erfahren, dass ich die Nullstellen nur für bestimmte k ausrechnen muß. |
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