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Janny
| | Veröffentlicht am Samstag, den 04. November, 2000 - 13:32: | 
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In der Ebene seien der Punkt A=(0,a) und die Gerade y=-a gegeben (wobei a>0 eine gegebene Zahl ist). Sei M die Menge aller Punkte P=(x,y), deren Abstand von A genau so groß ist wie ihr Abstand von der Geraden. Beschreibe M mit Hilfe komplexer Zahlen z=x+iy und leite so eine Beziehung zwischen x und y her.
Leider treten bei mir schon Probleme bei der Deutung der gemeinten Menge auf.
Kann mir hier jemand weiterhelfen? |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Samstag, den 04. November, 2000 - 15:47: |
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Hi Janny
Durch den allgemeinen Punkt P(x/y) der
gesuchten Kurve c
legen wir die zu g (Gerade y = -a) senkrechte Gerade n
n und g mögen sich im Punkt F schneiden.
Dann hat F die Punktkoordinaten
xF = xP = x, yF = - a
Nun stellen wir die Punkte A , P , F durch komplexe
Zahlen in der Gauss'schen Zahlenebene dar :
A entspricht der komplexen Zahl zA = 0 + i * a = i * a
P entspricht der komplexen Zahl z = x + i y
F entspricht der komplexen Zahl zF = x - i * a
Den Abstand d zweier komplexer Zahlen z1,z2 erhält man
als Absolutbetrag ihrer Differenz:
d = abs (z1- z2 ) = wurzel {( x1-x2) ^ 2 + (y1-y2) ^ 2}
x1 , x2 , y1 y2 sind je die Realteile und Imaginärteile
der Zahlen z1,z2.
Ausführung:
Die Abstandsbedingung lautet:
Abstand PA = Abstand PF
abs (z - i*a ) = abs [z - (x + i * y) ] ,
darin wird z = x + i * y gesetzt, somit:
abs [x + i * ( y - a)] = abs [ i * ( a + y ) ]
Die entstehenden Wurzeln fallen beim Quadrieren weg und es bleibt:
x ^ 2 + (y - a ) ^ 2 = ( a + y ) ^ 2 , vereinfacht:
y = 1 / (4*a) * x ^ 2 als Schlussresultat.
Das ist eine bekannte Form der Parabelgleichung
Daten der Parabel:
Die y-Achse ist die Parabelachse
Der Nullpunkt O ist der Scheitel
Der Punkt A ist der Brennpunkt
Die Gerade g ist die Leitgerade oder Direktrix
p = 2 * a ist der Parameter der Parabel.
Freundliche Grüsse
Hans Rudolf Moser,megamath. |
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