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Beitrag |
    
kati
| | Veröffentlicht am Samstag, den 04. November, 2000 - 12:11: | 
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Wie kann man die folgende Folge in eine Formel fassen?
1,2,8,18,32,50,....
Checkt das jemand?
Danke!! |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. November, 2000 - 00:25: |
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Hi kati,
was kann man machen. Ich bilde zunächst die Differenzen je zweier benachbarter Folgenglieder:
1 2 8 18 32 50
1 6 10 14 18
Das ist eine neue Folge, die nenne ich d(n).
Die Ausgangsfolge nenne ich a(n).
Es ist dann a(n+1)=a(n)+d(n).
Abgesehen von der 1 scheint also jedes Folgenglied um 2+4*(n-1) größer zu sein als das vorige [d(n)=2+4*(n-1)].
Ist die 1 vielleicht ein Schreibfehler.
Wenn die Folge nämlich 0,2,8,18,32,50 lauten würde, wäre es schöner.
Jedes Folgenglied (abgesehen von der 1) ist das doppelte einer Quadratzahl.
Ich komme dann auf:
a(n) = 2*n2, n>0 und a(0)=1
Gruß
Matroid |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. November, 2000 - 01:45: |
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Hi kati, probiers mal hiermit... |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. November, 2000 - 01:46: |
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pardon, Matroid, die Seite war noch im Cache... |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. November, 2000 - 05:46: |
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Hallo Kati,
Mit diesem Gesetz funktioniert's natürlich auch:
an = 8 - 127n/10 + 41n2/6 - 31n3/24 + n4/6 - n5/120;
Die nächsten Folgenglieder müssten 71 und 92 sein (weitere schreib ich lieber nicht hin, da die Folge nicht monoton ist, wie an den unterschiedlichen Vorzeichen der verschiedenen Potenzen von n zu sehen ist)
Die Formel erhältst du, indem du das Gleichungssystem mit 6 Unbekannten
a+b+c+d+e+f=1
a+2b+4c+8d+16e+32f=2
a+3b+9c+27d+81e+243f=8
a+4b+16c+64d+256e+1024f=18
a+5b+25c+125d+625e+3125f=32
a+6b+36c+216d+1296e+7776f=50
löst.
Eine andere, allerdings für praxisbezogene Probleme etwas unsaubere (da u. a. nicht für negative n geeignete) Alternative wäre, die von Matroid vorgeschlagene Folge leicht zu variieren:
an = (1n) + 2(n-1)2 wobei n³1
(1n) bedeutet den Binomialkoeffizienten "1 über n"
Oder probier's mal mit der Fakultät (n-1)! oder wenn's was mit Biologie zu tun haben kann, mit den Fibonacci-Zahlen, die ersten beiden Glieder dieser Folgen passen ganz gut zu deinen:
| n | | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | | n-1 | | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | | (n-1)! | | 1 | 1 | 2 | 6 | 24 | 120 | | fibn+1 | | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | | katin-fibn+1 | | 0 | 1 | 6 | 15 | 27 | 42 | |
wobei fibn+1 die (n+1)te Fibonacci-Zahl sein soll, wenn 0 die erste ist.
Die Folge in der letzten Zeile sah auf den ersten Blick sehr angenehm aus, als könnte sie einem den Gefallen tun, dass sich das an+1 rekursiv aus an ergibt nach an+1 = an + 3n
a6 = a5 + 3*5
a5 = a4 + 3*4
a4 = a3 + 3*3
a3 = a2 + ...nur leider ist das a2 nicht null.
Ebensogut könnte in der Biologie natürlich ein Exponentialansatz naheliegen, z.B.
a*2+b*3+c*4+d*5+e*6+f=1
a*4+b*9+c*16+d*25+e*36+f=2
a*8+b*27+c*64+d*125+e*216+f=8
a*16+b*81+c*256+d*625+e*1296+f=18
a*32+b*243+c*1024+d*3125+e*7776+f=32
a*64+b*729+c*4096+d*15625+e*46656+f=50
wobei die Koeffizienten in der k-ten Zeile die k-ten Potenzen von 2,3,4,5,6,1 sind.
Auch ein gemischter Exponential- und Polynom-Ansatz wie
a*2+b*3+c*4+d+e+f=1
a*4+b*9+c*16+d*4+e*2+f=2
a*8+b*27+c*64+d*9+e*3+f=8
a*16+b*81+c*256+d*16+e*4+f=18
a*32+b*243+c*1024+d*25+e*5+f=32
a*64+b*729+c*4096+d*36+e*6+f=50
kann erfolgversprechend sein: dieser hier führt auf
a=-3, b=1/3, c=-1/36, d=4, e=-20/3 und f=79/9, so dass das Bildungsgesetz der Folge lautet:
an = -3*2n + 3n/3 - 4n/36 + 4*n2 - 20n/3 + 79/9
bei diesem ist das siebte Folgenglied allerdings wieder kleiner als das sechste: a7=48
Du siehst, es gibt unendlich viele Möglichkeiten, eine Bildungsvorschrift aufzustellen. Eine weitere Einschränkung (außer weiteren vorgegebenen Folgengliedern) kann sein, wenn du eine monotone Folge suchst, dann musst du halt eine Weile mit Ansätzen herumbasteln, bis der geeignete passt. Für ein anwendungsbezogenes Problem gilt allerdings der Grundsatz: so einfach wie möglich, damit es eventuell theoretisch auch gedeutet werden kann. |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. November, 2000 - 06:02: |
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Hi kati, falls du nur am Ergebnis interessiert bist, ohne den Weg zu verstehen, auf dieser Seite findest du möglicherweise Hinweise, wie du an ein einfaches Bildungsgesetz kommst. |
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