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Beitrag |
    
Schuster Sibylle (Aleika)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 04. November, 2000 - 11:51: | 
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Hi,
ich stehe vor folgender schwierigen Aufgabe:
Für positive reelle Zahlen a,b seien das arithmetische Mittel A(a,b), das geometrische Mittel G(a,b) und das harmonische Mittel H (a,b) durch
A(a,b) = a+b/2 , G(a,b)= wurzel ab, H(a,b) 1/A(1/a,1/b)= 2ab/a+b definiert.
a, beweisen sie:
min(a,b) < gleich H(a,b)< gleich G(a,b)< gleich A(a,b) <gleich max(a,b). zeigen sie weiterhin, dass die gleichheit der mittel nur für a=b eintritt.
b,(die n und n+1 stehen jeweils im index). Die intervalle In =(an,bn) seien durch
a1=a, b1=b, an+1 = H(an,bn), bn+1 = A(an,bn) rekursiv definiert. zeigen sie, dass (In)n e N eine Intervallschachtelung bildet( Hinweis. man zeige zunächst, dass für jedes n>gleich die abschätzung bn - an <gleich 1/2^n * (b-a) gilt)
c, zeigen sie, dass wurzel ab in jedem der intervalle I1,I2,I3....enthalten ist.
Wäre toll, wenn mir einer helfen könnte, da ich von den Mitteln noch nie eine Ahnung gehabt habe. |
stewen
| | Veröffentlicht am Montag, den 06. November, 2000 - 00:01: |
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hi,
zur ersten Aufgabe:
o.B.d.A: b > a, also ex. eine reelle Zahl r mit r aus R mit r >= 0
1) min (a,b) = a
2) 2ab/(a+b) = (2a^2 + 2ar) / (2a + r) dies ist gleich a fuer r = 0
(2a^2 + 2ar) > 2a^2 + ar, da a,r positiv
also gilt mit a ungleich (=/) 0, also 2a +a =/ 0:
2a^2 + 2ar) / (2a + r) > a
3) (a-b)^2 >= 0 ist schliesslich ein Quadrat
a^2 + b ^2 >= 2ab
a^2 + 2ab + b^2 >= 4ab
1 >= 4ab / (a+b)^2
ab >= 4(ab)^2 / (a+b)^2
sqrt (ab) >= 2ab / (a+b)
4) geht im prinzip genauso durch Ausnutzung der bin. Formel
5 wie 1 nur max betrachten
Wie kommt man darauf?? -- Rueckwaerts rechnen und dann umgekehrt aufschreiben. So wie das da steht, faellt das erstmal vom himmel, also zum verstehen auch erst von unten lesen. viel glueck noch
Roland |
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