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Vollständige Induktion

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Papst
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 02. November, 2000 - 20:39:   Beitrag drucken

Hallo!

Wie beweist man die Ungleichung n^2 kleiner gleich 2^n kleiner als n-Fakultät ?
Das man zweimal eine voll. Induktion durchführen muss, ist mir klar, aber bisher fehlt mir einfach der Anfang. Tipp ? Danke......
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Euridike
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Veröffentlicht am Freitag, den 03. November, 2000 - 21:06:   Beitrag drucken

Meine Idee ist die folgende:
Die Behauptung gilt erst für n=>5. Vorher erhälst du für
n=1 : 1<=2<1
n=2 : 4<=4<2
n=3 : 9<=8<3
n=4 : 16<=16<12
n=5 : 25<=32<60
Den Induktionsanfang beginnst Du mit n=5. Und zeigst die Behauptung für alle n=>5.
Dies ist möglich, da Du die Behauptung dann für alle Zahlen >5 gezeigt hast. Für die anderen Elemente gilt die Behauptung dann nicht.
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B.Bernd
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Veröffentlicht am Samstag, den 04. November, 2000 - 19:08:   Beitrag drucken

zu Zeigen: die Gültigkeit der Behauptung
n2 £ 2n < n!


Gültigkeitsbereich G der Behauptung: n³4

Induktionsanfang: n=4:

42 £ 24 < 4!, denn
16 £ 16 < 24

Induktionsschritt, zuerst für die Behauptung 2n < n!

für alle n aus G gilt: 2 < n+1

Multiplikation der linken Seite mit der linken Seite der Induktionsvoraussetzung, der rechten Seite mit der rechten Seite der Induktionsvoraussetzung ergibt:

2 * 2n < (n+1)*n!, Umformung
2n+1 < (n+1)!, was zu zeigen war.

==================================================

Nun die Behauptung n2 £ 2n (Beh.(1))


Einfach mal die beiden Seiten der zu folgernden Aussage für n+1 hinschreiben, um zu sehen, was zu tun ist:

(n+1)2 || 2n+1
n2 +2n +1 || 2*2n
n2 +2n +1 || 2n + 2n

wenn also gezeigt wäre, dass 2n+1 £ 2n ist, dann wäre alles getan, denn n2 £ 2n soll ja nach Voraussetzung von Beh.(1) gelten.


also zunächst: Beh.(2) 2n+1 £ 2n

(Ind-Anf.: gilt für n=4)
Es gilt: 2 £ 2n für alle n aus G

Addition der entsprechenden Seiten dieser Relation zur Ungleichung 2n+1 £ 2n ergibt
2n+1 +2 £ 2n + 2n
2(n+1)+1 £ 2n+1

dies ist die Aussage von Beh. (2) für n+1, sie wurde aus Beh.(2) für n gefolgert, sie gilt für n=4, also gilt sie für alle n aus G.


Beh.(1) war: n2 £ 2n, Addition mit Beh.(2):

n2 + 2n + 1 £ 2n + 2n
(n+1)2 £ 2*2n
(n+1)2 £ 2n+1

Es wurde die Beh.(1) für n+1 aus Beh.(1) für n gefolgert, sie gilt für n=4, also gilt sie für alle n aus G.


Beh.(1) und Beh.(2) ergeben zusammen die zu beweisende Aussage


n2 £ 2n < n! für n³4

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