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Papst
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 02. November, 2000 - 20:39: |
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Hallo! Wie beweist man die Ungleichung n^2 kleiner gleich 2^n kleiner als n-Fakultät ? Das man zweimal eine voll. Induktion durchführen muss, ist mir klar, aber bisher fehlt mir einfach der Anfang. Tipp ? Danke...... |
Euridike
| Veröffentlicht am Freitag, den 03. November, 2000 - 21:06: |
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Meine Idee ist die folgende: Die Behauptung gilt erst für n=>5. Vorher erhälst du für n=1 : 1<=2<1 n=2 : 4<=4<2 n=3 : 9<=8<3 n=4 : 16<=16<12 n=5 : 25<=32<60 Den Induktionsanfang beginnst Du mit n=5. Und zeigst die Behauptung für alle n=>5. Dies ist möglich, da Du die Behauptung dann für alle Zahlen >5 gezeigt hast. Für die anderen Elemente gilt die Behauptung dann nicht. |
B.Bernd
| Veröffentlicht am Samstag, den 04. November, 2000 - 19:08: |
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zu Zeigen: die Gültigkeit der Behauptung n2 £ 2n < n! Gültigkeitsbereich G der Behauptung: n³4 Induktionsanfang: n=4: 42 £ 24 < 4!, denn 16 £ 16 < 24 Induktionsschritt, zuerst für die Behauptung 2n < n! für alle n aus G gilt: 2 < n+1 Multiplikation der linken Seite mit der linken Seite der Induktionsvoraussetzung, der rechten Seite mit der rechten Seite der Induktionsvoraussetzung ergibt: 2 * 2n < (n+1)*n!, Umformung 2n+1 < (n+1)!, was zu zeigen war. ================================================== Nun die Behauptung n2 £ 2n (Beh.(1)) Einfach mal die beiden Seiten der zu folgernden Aussage für n+1 hinschreiben, um zu sehen, was zu tun ist: (n+1)2 || 2n+1 n2 +2n +1 || 2*2n n2 +2n +1 || 2n + 2n wenn also gezeigt wäre, dass 2n+1 £ 2n ist, dann wäre alles getan, denn n2 £ 2n soll ja nach Voraussetzung von Beh.(1) gelten. also zunächst: Beh.(2) 2n+1 £ 2n (Ind-Anf.: gilt für n=4) Es gilt: 2 £ 2n für alle n aus G Addition der entsprechenden Seiten dieser Relation zur Ungleichung 2n+1 £ 2n ergibt 2n+1 +2 £ 2n + 2n 2(n+1)+1 £ 2n+1 dies ist die Aussage von Beh. (2) für n+1, sie wurde aus Beh.(2) für n gefolgert, sie gilt für n=4, also gilt sie für alle n aus G. Beh.(1) war: n2 £ 2n, Addition mit Beh.(2): n2 + 2n + 1 £ 2n + 2n (n+1)2 £ 2*2n (n+1)2 £ 2n+1 Es wurde die Beh.(1) für n+1 aus Beh.(1) für n gefolgert, sie gilt für n=4, also gilt sie für alle n aus G. Beh.(1) und Beh.(2) ergeben zusammen die zu beweisende Aussage n2 £ 2n < n! für n³4 |
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